6. Критерий Колмогорова

Критерий Колмогорова для простой гипотезы является наиболее простым критерием проверки гипотезы о виде закона распределения. Он связывает эмпирическую функцию распределения с функци­ей распределения непрерывной случайной величиныX.

Пусть - конкретная выборка из распределения с неизвестной непрерывной функцией распределенияи- эмпирическая функция распределения. Выдвигается простая гипотеза:(альтернативная : ,).

Сущность критерия Колмогорова состоит в том, что вводят в рассмотрение функцию

(7)

называемой статистикой Колмогорова, представляющей собой максимальное отклонение эмпирической функции распределения от гипотетической (т. е. соответствующей теоретической) функции распределения.

Колмогоров доказал, что при закон распределения случайной величинынезависимо от вида распределения с. в.X стремится кзакону распределения Колмогорова:

где К(х) — функция распределения Колмогорова, для которой составлена таблица, ее можно использовать для расчетов уже прип ≥ 20:

α	0,1	0,05	0,02	0,01	0,001
	1,224	1.358	1,520	1,627	1,950

Найдем такое, что

Рассмотрим уравнение С помощью функции Колмогорова найдем значение (корень) этого уравнения. Тогда по теореме Колмогорова,

откуда

Если , то гипотезунет оснований опровергнуть; в противном случае - ее опровергают.

Пример 3. Монету бросали 4040 раз (Бюффон). Получиливыпадений герба ивыпадений решётки. Проверить, используя

а) критерий Колмогорова;

б) критерий Пирсона, согласуются ли эти данные с гипотезой о симметричности монеты (0.05).

Случайная величина X принимает два значения:(решётка);(герб). Гипотеза :.

а) По таблице распределения Колмогорова находим корень урав­нения при. Следует . Тогда

Для нахождения по выборке строим функции и и вычисляем величину.

	решётка = -1	герб = -1
	0,5	0,5

xi	решётка x1 = -1	герб x2 = -1
ni	1992	2048
pi	0,493	0,507

Максимальное отклонение от равно 0,007, т.е.= 0,007. Поскольку, то нет оснований отвергать, гипотезу; опытные данные согласуются с гипотезойо симметричности монеты.

б) Вычисляем статистику χ²

По таблице распределения находим критическую точку Так как, то опытные данные согласуются с гипотезой о симметричности монеты.

7. Критерий однородности Смирнова

Для проверки гипотез вида (2) (см. 20.2) об однородности двух или более выборок применяют критерий однородности:

(8)

Здесь, мы ограничимся частным случаем этой критерии для двух выборок (т.е.). В качестве критической статистики применяется критерий однородности Смирнова, которая имеет вид:

(9)

где число элементов выборок;количество элементов соответственно первой и второй выборок, попавших вй интервал.

При условии справедливости гипотезывеличинабудет распределена приблизительно по законусстепенью свободы. Гипотезаопровергается, еслиилиипринимается при всех остальных значениях критерия.

Рассмотрим следующую производственную задачу.

Пример 4. Ниже в таблице приведены условные данные о заработной плате работников двух видов предприятий: текстильной и машиностроительной отраслей, полученные в результате социологического опроса. Объёмы двух выборок выразятся как .

№ п /п	Интервал зарплаты в у.е.	Количество элементов выборки, попавших в данный интервал
		Текстиль	Машиностроение
1	130-150	4	1	5	3
2	150-170	4	1	5	3
3	170-200	15	8	23	7
4	200-250	51	43	94	8
5	250-300	22	34	56	-12
6	300-350	3	7	10	-4
7	350-400	1	3	4	-2
8	400-450	0	3	3	-3

Решение. Проверим гипотезу (при уровне значимости ) о том, что распределения вероятностей по заработной плате в анализируемых отраслях не отличаются друг от друга.

Далее вычисления величины по формуле критерии Смирнова (9) с учётом данных в таблице даёт

(10)

Задание.Самостоятельно проверьте это равенство.

Из таблицы значений -распределения (см. приложение) определяем критическую точку:. Следовательно, гипотезу о совпадении вероятностных распределений заработной платы в двух отраслях необходимо отвергнуть, т.к.. При этом, вероятность допускаемой ошибки равна 0,05.

Критерий однородности Смирнова относится к непараметрическим критериям (в отличие от критерия Пирсона), так как используемая в нём критическая статистика никак не зависит от наших предположений относительно распределения закона случайной величины.