Верификационные примеры
Аналитическое |
решение |
этой |
|
|
задачи |
имеет |
вид |
[2]: |
|
|
σ |
кр |
= K |
π2 D |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
b2h |
|||||||||||||||||||||||||||||
где |
E – модуль упругости, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
D = |
|
Eh3 |
|
– цилиндрическая жесткость пластины, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
12(1−ν 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
K - |
коэффициент, значение которого зависит от способа закрепления краёв пластинки и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
отношения |
a |
|
(в данном случае K =1.33 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 D |
|
7 |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, σкр |
= K |
2 |
|
= 0.8401×10 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
h |
|
м |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выполнив расчет при помощи T-FLEX Анализ, получили следующие результаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
−q |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Тип конечного |
Параметры сетки |
|
|
Результат, критическая |
Ошибка |
δ = |
|
кр |
|
×100% |
|
||||||||||||||||||||||
|
элемента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нагрузка |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σкр |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Линейный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8370 ×10 |
7 |
Н |
|
|
|
0.37 % |
|
|
|
|
|
||||||||||
треугольник |
|
Число узлов: 2105 |
|
|
|
|
|
м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Число КЭ: 4040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Квадратичный |
|
|
|
|
|
0.8391×10 |
7 |
Н |
|
|
|
0.12 % |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
треугольник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Квадратичный |
|
Число узлов: 4450 |
|
|
|
|
0.8388×10 |
7 |
Н |
|
|
|
0.15 % |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
тетраэдр (10 узлов) |
|
Число КЭ: 12833 |
|
|
|
|
|
м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Примеры задач частотного анализа
Определение собственных частот колебаний балки
Имеется консольно-защемленная балка длиной |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
L с прямоугольным поперечным сечением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шириной b и высотой h. |
|
L |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Требуется определить первые три собственные частоты балки.
Примем L=0.5 м, b=0.05 м, h=0.02 м.
Свойства материала: модуль упругости E = 2.1 1011 Па, коэффициент Пуассона ν = 0.28 , плотность
ρ = 7800 кг м3 .
Построив модель, создаем задачу типа «Частотный анализ».
Конечно-элементная модель балки с закреплениями
141
Руководство пользователя T-FLEX Анализ
Аналитическое решение имеет вид [3, с.382]:
|
|
E J |
|
1 k |
i |
2 |
|||
fi |
= |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
l |
|
||||||
|
|
ρ F 2π |
|
|
|
||||
где fi - собственные частоты, E – модуль упругости материала, J – момент инерции, ρ – плотность материала, F – площадь поперечного сечения, l – длина балки, ki - коэффициент, зависящий от формы колебаний ( k1 =1.875, k2 = 4.694, k3 = 7.855 ).
Результаты получились следующие:
|
Форма колебаний |
Решение в T-FLEX, |
|
Аналитическое |
|
Погрешность, % |
|
|||
|
|
Гц |
|
решение, Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
67.3 |
|
67.0 |
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
419.1 |
|
420.2 |
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1161.4 |
|
1176.7 |
|
1.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение первой собственной частоты колебаний круглой пластинки |
|
|
|
|
||||||
|
Для круглой пластины радиуса R и толщины h, защемленной по |
|
|
|
|
|||||
|
контуру, необходимо определить собственную частоту первой |
|
|
|
|
|||||
|
формы колебаний. |
|
|
|
R |
|
|
h |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Примем радиус пластины равным R=0.2 м, толщину пластины |
|
|
|
|
|||||
|
h=0.01 м. Свойства материала: модуль упругости E = 2.1 1011 Па, |
|
|
|
|
|||||
|
коэффициент Пуассона ν = 0.225 , плотность ρ = 7800 кг |
3 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вследствие симметрии рассматриваем одну четвертую часть пластины, накладываем соответствующие граничные условия.
Выполним расчёт первой собственной частоты колебаний пластины, используя сначала тетраэдральные конечные элементы, а затем – треугольные. Сравним полученные результаты с аналитическим решением, которое имеет вид [3, с.452]:
f = |
10.21 |
|
D |
= 624.5 Гц, |
|
|
|
|
|
R2 2π |
|
ρ h |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
где R – радиус пластины, ρ – плотность материала, h – толщина пластины, D = |
|
|
E h3 |
– изгибная |
|||||
12 |
(1−ν2 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
жесткость.
142
Верификационные примеры
Конечно-элементная модель пластины с закреплениями
Выполнив расчет при помощи T-FLEX Анализ, получили следующие результаты:
Тип конечного |
Параметры сетки |
Результат, первая |
Ошибка δ = |
|
f − |
λ1 |
|
×100% |
|
|
|
||||||||
элемента |
|
собственная частота λ1 |
|
|
|
|
|||
|
|
f |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратичный |
Число узлов: 3938 |
622.1 |
Гц |
0.39 % |
|
|
|
||
тетраэдр |
Число КЭ: 11549 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейный |
Число узлов: 1865 |
623.0 Гц |
0.24 % |
|
|
|
|||
треугольник |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Число КЭ: 3580 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратичный |
621.5 |
Гц |
0.48 % |
|
|
|
|||
треугольник |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первая форма колебаний
Свободные колебания сферического купола
Рассмотрим сферический купол радиуса R , защемлённый по контуру (см. рис.).
Толщина купола h существенно меньше его радиуса R .
143
Руководство пользователя T-FLEX Анализ
Численно моделировалась 14 часть сферической поверхности. На нижней кромке задавались условия жёсткого защемления, на боковых гранях – условия симметрии.
Конечно-элементная модель сферической оболочки с закреплениями
Примем следующие исходные данные: радиус |
R = 300мм, толщина h = 3мм ( |
R |
=100 ). |
||||||||||
h |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
11 |
Па, ν = 0.28, |
|
|
кг |
|
|
||||||
Характеристики материала: E = 2 ×10 |
|
ρ = 7800 |
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
м3 |
|
|
|||||||||
Решение этой задачи имеет вид [4]: fi |
= |
ki ω0 |
, ω |
|
= |
E |
|
, |
|
|
|
||
2π |
0 |
ρR2 (1−ν 2 ) |
|
|
|
||||||||
|
E – модуль упругости, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ki - коэффициент, значение которого для первых пяти частот: 0.5457 , |
0.7377 , 0.8563 , |
|||||||||||
|
0.8598 , 0.9034 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, f1 =1564.7 Гц, f2 = 2115.3 Гц, f3 = 2455.4 Гц, f4 = 2465.4 Гц , f5 = 2590.4 Гц.
Выполнив расчет при помощи T-FLEX Анализ, получили следующие результаты:
Тип конечного |
Параметры сетки |
Результат, собственные |
Ошибка δ = |
|
fi −λi |
|
|
×100% |
|
|
|||||||
частоты λi |
|
|
|
|
||||
элемента |
|
|
|
fi |
||||
|
|
1574.1 Гц |
0.59 % |
||
Линейный |
Число узлов: 2840 |
2107.0 Гц |
0.39 % |
||
2469.9 |
Гц |
0.59 % |
|||
треугольник |
Число КЭ: 5510 |
||||
2490.3 |
Гц |
1.01 % |
|||
|
|
||||
|
|
2592.9 Гц |
0.10 % |
||
144
|
|
|
|
|
|
Верификационные примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1573.8 Гц |
0.58 % |
||
|
Квадратичный |
|
2105.4 Гц |
0.47 % |
||
|
|
2466.7 |
Гц |
0.46 % |
||
|
треугольник |
|
||||
|
|
2488.5 |
Гц |
0.94 % |
||
|
|
|
||||
|
|
|
2586.7 Гц |
0.14 % |
||
|
|
|
|
|
0.61 % |
|
|
|
|
1574.3 Гц |
|
||
|
Квадратичный |
Число узлов: 5507 |
2106.2 Гц |
0.43 % |
||
|
2465.9 |
Гц |
0.43 % |
|||
|
тетраэдр (10 узлов) |
Число КЭ: 16387 |
||||
|
2487.0 |
Гц |
0.88 % |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
2586.1 Гц |
0.17 % |
||
|
|
|
|
|
|
|
145