Руководство пользователя T-FLEX Анализ
ВЕРИФИКАЦИОННЫЕ ПРИМЕРЫ
Вданной главе рассмотрено решение некоторых простейших задач, имеющих аналитическое решение с целью оценки точности работы системы конечно-элементного анализа. Все приведенные здесь примеры можно найти в библиотеке файлов «Верификационные примеры».
Примеры расчётов задач статики
Изгиб консольно-защемлённой балки под действием сосредоточенной нагрузки
Рассмотрим консольно-защемлённую балку длиной L, |
P |
|
которая нагружена силой P на правом конце. |
||
|
||
Поперечным сечением балки является прямоугольник |
|
|
с шириной b и высотой h. |
L |
Требуется определить максимальные прогибы балки.
Примем P=2000 Н, L=0.5 м, b=0.05 м, h=0.02 м.
h
b |
Построив модель, создадим задачу типа «Статический анализ» и разобьем модель на конечные
элементы. Материал балки оставим по умолчанию (модуль упругости E = 2.1 1011 Па, коэффициент Пуассона ν = 0.28 ).
Левый торец балки закрепим, а на правый приложим нагрузку величиной P, направленную вертикально вниз.
Конечно-элементная модель балки с нагрузками и закреплениями
С помощью команды «Анализ|Расчет» выполним статический расчет балки.
Перемещения точек балки
Максимальное перемещение получилось равным 11.83 мм. Аналитическое решение имеет вид [1, с.215]:
w = |
P l3 |
=11.9 мм, |
|
3E J |
|||
|
|
132
Верификационные примеры
где P – сила, l – длина балки, E – модуль упругости материала, J = b12h3 – момент инерции сечения.
Погрешность решения составляет 0.5%.
Статический расчет круглой пластины, защемленной по контуру
Необходимо определить максимальные прогибы круглой пластины радиуса R и толщины h, которая защемлена по контуру и нагружена равномерным давлением q, распределенным по верхней грани пластины.
q
R
h
Вследствие симметрии задачи будем рассматривать одну четвертую часть пластины. Примем радиус пластины равным R=0.2 м, толщину h=0.01 м, давление q=1000 кН/м^2.
После построения модели, используя команду «Анализ|Новая задача», создадим задачу типа «Статический анализ» и построим конечно-элементную сетку. Материал пластины оставим по
умолчанию (модуль упругости E = 2.1 1011 Па, коэффициент Пуассона ν = 0.28 ).
Далее необходимо наложить граничные условия. Боковую поверхность пластины закрепляем полностью, а на грани, которые оказались свободными после отбрасывания ¾ пластины, накладываем частичные ограничения по нормали к граням, так как точки этого сечения по условиям симметрии не могут получить преимущественных смещений в нормальном направлении. На верхнюю грань пластины прикладываем давление величиной 1000 кН/м^2.
Конечно-элементная модель пластины с нагрузками и закреплениями
С помощью команды «Анализ|Расчет» выполним статический расчет пластины.
Перемещения точек пластины
Максимальный прогиб (в центре пластины) получился равным 1.3244 мм.
Для данной задачи известно аналитическое решение. Прогиб в центре пластины вычисляется по формуле [1, с.566]:
w = q R4 =1.3166 мм, 64 D
133
Руководство пользователя T-FLEX Анализ
где q – величина давления, R – радиус пластины, D = |
|
|
E h3 |
|
|
|
|
– изгибная жесткость. |
|
12 |
|
|||
|
(1−ν2 ) |
|||
Таким образом, погрешность решения по перемещениям составляет 0.6%.
2
Напряжения на контуре пластины вычисляются по формуле: σ = 0.75q Rh = 3 108 Па.
Величина напряжений, полученных в T-FLEX Анализ: σ = 3.19 108 Н м2 .
Погрешность решения по напряжениям составляет 6%.
Расчет сферического сосуда давления
Имеется сферический сосуд с внутренним радиусом r и внешним радиусом R. На сосуд действуют внутреннее давление p0 и внешнее p1. Необходимо определить перемещения внутренней стенки сосуда.
Вследствие симметрии задачи будем рассматривать одну восьмую часть сферы. Примем следующие исходные данные:
внутренний радиус r=0.4 м, внешний радиус R=0.415 м, внутреннее давление p0=200 МПа, внешнее давление p1=120 МПа.
Характеристики материала примем E = 2.1 1011 Па,ν = 0.28 .
у
p1
r
х p0 
R
Как и в предыдущей задаче, необходимо наложить граничные условия, учитывающие воздействие отброшенной части сферы. В данном случае необходимо ограничить по нормали перемещения точек всех плоских граней. На внутреннюю и внешнюю грани прикладываем давления 200 МПа и 120 МПа соответственно.
Конечно-элементная модель одной восьмой части сферы с нагрузками и закреплениями
Выполнив расчёт, получаем перемещение внутренней поверхности сферы равное 1.4070 мм.
134
Верификационные примеры
Аналитическое решение имеет вид [1, с.737]:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = A r + |
|
B |
|
|
=1.4063 мм, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P1 |
− |
|
P0 |
|
|
|
|
|
|
|
P1 − P0 |
|
|
|
|
|
E |
|
E ν |
|
||||||
где A = |
|
r3 |
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
, B = |
|
|
|
, |
μ = |
, λ = |
. |
||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
2 (1+ν) |
(1+ν) (1− 2ν) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
(2μ +3λ) |
|
|
|
− |
|
|
|
|
4μ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R |
3 |
r |
3 |
|
|
R |
3 |
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Погрешность решения по перемещениям составляет 0.05%. Кроме того, можно оценить погрешность решения по напряжениям.
Задача определения напряжений сферического сосуда ставится в сферической системе координат. Выражения для напряжений имеют вид:
|
|
|
r−3P |
− R−3P |
(P |
− P ) |
ρ−3 , σ |
|
|
r |
−3P − R−3P |
(P − P ) |
ρ−3 . |
|||
σ |
ρ |
(ρ) = |
1 |
0 |
− |
1 |
0 |
t |
(ρ) = |
|
1 |
0 |
+ |
1 0 |
||
|
|
(R−3 − r−3) |
(R−3 − r−3) |
|
|
|
(R−3 − r−3) |
2 (R−3 − r−3) |
|
|||||||
Эквивалентные напряжения определяются по формуле: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
σэкв(ρ) = |
(σρ (ρ))2 + (σt (ρ))2 − 2 σρ (ρ) σt (ρ) . |
|
||||||||||
Эквивалентные напряжения на внутренней поверхности сферы равны σэкв(r) =1148 МПа.
В T-FLEX Анализ величина этих напряжений оказалось равной σэкв(r) =1.14976 109 Н м2 .
Погрешность решения по напряжениям составляет 0.18%.
Квадратная пластина под силой в центре
Рассматривается жестко закреплённая квадратная пластина под сосредоточенной силой в центре [4].
Задача статического анализа решается с использованием пластинчатых конечных элементов. В расчёте рассматривается 14 часть пластины с
наложением условий симметрии на соответствующих гранях (ограничение перемещений в направлении оси локальной системы координат, нормальной к плоскости грани; ограничение поворотов).
Конечно-элементная модель пластины с нагрузками и закреплениями
135