Министерство образования РФ

Пермский государственный технический университет

Кафедра конструирования радиоэлектронных средств

Расчётная работа

“Расчет цепей с источниками постоянных воздействий”

Вариант № 44

Выполнил студент гр. АТПП-02-2

Пеунов А.А.

Проверил преподаватель каф. КРЭС

Кулютникова Е.А.

Пермь 2003.

Задание

Рассчитать цепь, в которой Е=100е^j60; J=2e^j30; f=50Гц.

Параметры пассивных элементов:

R₂=R₄=R₆=76 Ом;

R₃=R₅=116 Ом;

L=176 мГн;

C=176 мкФ;

X_L5=55.292 Ом;

X_C=18.086 Ом.

Система уравнений Кирхгофа

I закон Кирхгофа:

узел А: I₆- I₄-_-I₁=0;

узел B: I₁+I₂+J =0;

узел D: I₅-J-I₆=0.

II закон Кирхгофа:

(на схеме направления обходов контуров I, II, III соответствуют направлениям контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃)

I контур: I₄ R₄-I₁(R₁-jX_c1)=E2;

II контур: JR₃ +I₅(R₅+jX_l5)=U_j-E₂;

III контур: I₄ R₄+I₅(R5+jX_l5)+I₆R₆=0.

Метод контурных токов

Z₁₁I₁₁+Z₁₂I₂₂+Z₁₃I₃₃=E₁₁

Z₂₁I₁₁+Z₂₂I₂₂+Z₂₃I₃₃=E₂₂

Z₃₁I₁₁+Z₃₂I₂₂+Z₃₃I₃₃=E₃₃

• собственные сопротивления контуров:

Z₁₁=R₁+R₄-jX_c1=192-j18.086 Ом;

Z₂₂=R₃+R₅+jX_L=232+j55.292 Ом;

Z₃₃=R₄+R₅+R₆+jX_l5=268+j55.292 Ом;

• общие сопротивления контуров:

Z₁₂=Z₂₁=0 Ом;

Z₁₃=Z₃₁=R₄=76 Ом;

Z₂₃=Z₃₂=R₅+jX_l5=116+j55,292 Ом;

• контурные ЭДС:

E₁₁=E₂=50+j86.603;

E₂₂=U_J-E₂;

E₃₃=0.

В выбранной совокупности контуров:

I₂₂=J=1,732+j A.

Следовательно, второе уравнение в системе может быть исключено из совместного рассмотрения при ее решении относительно неизвестных контурных токов I₁₁ и I₃₃. После подстановки численных значений система, сокращенная на одно уравнение, примет вид:

Z₁₁I₁₁+Z₁₃I₃₃=E₁₁-Z₁₂I₂₂

Z₃₁I₁₁+Z₃₃I₃₃=E₃₃-Z₃₂I₂₂

Решать данную систему целесообразно с применением правила Крамера.

Определители системы:

Z₁₁ Z₁₃

= = 4.668x10₄ + j5.769x10₃

Z₃₁ Z₃₃

E₁₁-Z₁₂I₂₂ Z₁₃

₁₁= = 1.968x10⁴ + j4.207x10⁴

E₃₃-Z₃₂I₂₂ Z₃₃

Z₁₁ E₁₁-Z₁₂I₂₂

₃₃= = -3.559x10⁴ – j4.461x10⁴

Z₃₁ E₃₃-Z₃₂I₂₂

Токи I₁₁ и I₃₃ находятся по формулам:

I₁₁=₁₁/=0.525+j0.836 A,

I₃₃=₃₃/=-0.867-j0.848 A.

Напряжение на источнике тока найдем, решив второе уравнение в системе:

U_J=Z₂₁I₁₁+Z₂₂I₂₂+Z₂₃I₃₃+E₂=342.85+j268.001 В.

В соответствии с условно принятыми положительными направлениями вычислим токи ветвей:

I₁=-I₁₁= -0525-j0.836=0.987e^-j122.13 A;

I₂=I₁₁-I₂₂=-1.207-j0.164=1.218e^-j172.26 A;

I₃=J=1,732+j=2e^j30 A;

I₄=I₁₁-I₃₃=-0.342-j0.012=0,342e^-j177,99 A;

I₅= I₂₂+I₃₃=0.865+j0.152=0,878e^j9,97 A;

I₆= I₃₃=-0,867-j0.848=1,212e^-j135,63 A;

Мгновенные значения токов и напряжения на источнике тока

Поскольку угловая частота равна =2f, а амплитуда связана с действующим значение с помощью соотношения I_m=2I, следовательно,

u_J(t)=615.423 sin(314t+38.01^o /180^o) A.

Баланс активных и реактивных мощностей

Комплексная мощность источников:

S_ист=E₂I₂+JU_J=787.281+j25.012,

где I и J – сопряженные комплексы тока.

Комплексная мощность потребителей:

S_потр=P_потр+jQ_потр,

где

активная мощность:

P_потр=I₁²R₁+J²R₃+I₄²R₄+I₅²R₅+I₆²R₆=787.199 Вт,

реактивная мощность:

Q_потр=I₅²X_L5-I₁²X_C1= 25.023 Вт,

(в формулах мощности потребителей I_i – действующие значения токов).

Относительная погрешность расчета:

_P=(P_ист-P_потр)/P_ист*100%=0,01%; _Q=(Q_ист-Q_потр)/Q_ист*100%=0,044%.

Векторная топографическая диаграмма токов и напряжений

I₁=-I₁₁=-.0525-j0.836=0.987e^-j122.13 A;

I₂=I₁₁-I₂₂=-1.207-j0.164=1.218e^-j172.26 A;

I₃=J=1,732+j=2e^j30 A;

I₄=I₁₁-I₃₃=-0.342-j0.012=0,342e^-j177,99 A;

I₅= I₂₂+I₃₃=0.865+j0.152=0,878e^j9,97 A;

I₆= I₃₃=-0,867-j0.848=1,212e^-j135,63 A;

Определение потенциалов точек

Примем _A=0, тогда

_Е=_A-I₁R₁=60.9+j96.976=114.513е^j57.87 B;

_B=_E-I₁(-jX_c1)=76.02+j87.481=115,896e^j49 B;

_F=_B+jR₃=276.938+j203.481=343.656e^j36.3 B;

_C=_F-U_j= -65.912-j64.52=92.235e^j-135.31 B;

проверка №1: _A=_C-I₆R₆= -0.02-j0,0720+j0 B;

_D=_B-E₂=26.02+j0,878=26.034e^j1.933 B;

_G=_D-I₅jX_l5=34.424-j46.95=58.218e^-j53.75 B;

проверка №2: _A=_D+I₄R₄=-0,028-j0,034 B;

Метод узловых потенциалов

Обозначим узел А – узел 1, узел В – узел 2, узел C – узел 3, узел D – узел 4.

₄=0  ₁=E₂.

₁Y₁₁+₃Y₁₃+₄Y₁₄=J₁₁ ₃Y₃₃+₄Y₃₄=J₃₃-E₂Y₃₁

₁Y₃₁+₃Y₃₃+₄Y₃₄=J₃₃  ;

₁Y₄₁+₃Y₄₃+₄Y₄₄=J₄₄ ₃Y₄₃+₄Y₄₄=J₄₄-E₂Y₄₁

• собственные узловые проводимости:

Y₃₃=1/R₅+1/R₆+1/(R₁-jX_C1)=0.035+j1.312x10^-3;

Y₄₄=1/R₆+1/(R₅+jX_L5)=0.02-3.348x10^-3 ;

• общие узловые проводимости:

Y₄₃=Y₃₄= -1/R₆ = -0.013;

Y₄₁=0;

Y₃₁=-1/(R₁-jX_c1)= -8.416x10^-3 – 1.312x10^-3;

• узловые токи:

J₃₃=0;

J₄₄=J.

Решив систему уравнений, определим неизвестные ₂ и ₃. Далее, используя обобщенный закон Ома, рассчитаем токи ветвей:

I₁=(₃-₁)/(R₁-jX_c1);

I₃=J;

I₄=₃/R₄;

I₅=-₄/R₅+jX_l5;

I₆=₄-₃/R₆;

По I закону Кирхгофа определим ток I₂:

узел B: I₁+J+I₂=0;

I₂=-I₁-J.

Метод наложения

С использованием принципа суперпозиции определим ток I₁ в общем виде. Поскольку в цепи два источника, для определения искомого тока строятся две подсхемы, каждая из которых содержит только один из источников.

E₂

I₁^E= ------------------------------------- ;

R₄(R₅+R₆+jX_L5)

R₁-jX_C1+ ---------------------

R₄+R₅+R₆+jX_L5

Преобразуем «треугольник» сопротивлений в эквивалентную звезду

Z₅=R₅+jX_l5

R₄Z₅

Z₄₅= ---------------- ;

R₄+R₆+Z₅

R₄R₅

Z₄₆= ---------------- ;

R₄+R₆+Z₅

R₆Z₅

Z₅₆= ---------------- ;

R₄+R₆+Z₅

Тогда:

Z₄₅

I₁^J= -------------------- ;

R₁-jX_c1+Z₄₆+Z₄₅

Искомый ток I₁= -I₁^J -I₁^E.

Метод эквивалентного генератора

С использованием теоремы об активном двухполюснике определим ток I₂.

Напряжение холостого хода на зажимах определяется по II закону Кирхгофа.

U_XX=-E₂+I_4XR₄.

Ток I_4X определяется по формуле:

- J

I_4X=-I_4X^J=- ---------------------(R5+jX_l5) = 0.678+j0.65

R₄+R₅+ R₆+jX_l5

Напряжение холостого хода:

U_XX= -101.495-j136.033 B.

Определение входного сопротивления пассивного двухполюсника:

R₄(R₅+ R₆+jX_l5)

Z_вх= --------------------- = 55.328+j4,265 Ом.

R₄+R₅+ R₆+jX_l5

U_XX

С учетом Z₁=R-jX_c1 искомый ток I₁= ---------- = -0525-j0.836

Z_вх+ Z₁

8