Министерство образования РФ

Пермский государственный технический университет

Кафедра конструирования радиоэлектронных средств

Контрольная работа

“Расчет цепей с источниками постоянных воздействий”

Вариант № 51

Выполнил студент гр. АТПП-02-2

Цидвинцев Денис Андреевич

Проверил преподаватель каф. КРЭС

Кулютникова Елена Анатольевна

Пермь 2003

СХЕМА

B

I₁ I₁₁ I₂ I₂₂ I₃ R₃

X_L

F C

R₂

E U_J J

I₄ E I₅

R₄ R₅

I₃₃

A D

K

R₆ X_C

I₆

Задание

Рассчитать цепь, в которой Е=150е^j30; J=2e^j30; f=50Гц.

Параметры пассивных элементов:

R₂=R₄=R₆=72 Ом;

R₃=R₅=102 Ом;

L=132 мГн;

C=13,2 мкФ;

X_L=41,469 Ом;

X_C=241,14 Ом.

Система уравнений Кирхгофа

I закон Кирхгофа:

узел А: I₄+I₆-I₁=0;

узел B: I₁+J-I₂=0;

узел D: I₅-J-I₆=0.

II закон Кирхгофа:

(на схеме направления обходов контуров I, II, III соответствуют направлениям контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃)

I контур: I₄ R₄+I₂(R₂+jX_L)=E;

II контур: I₂(R₂+jX_L)+I₅R₅+JR₃=U_J;

III контур: I₆(R₆-jX_C)+I₅R₅-I₄R₄=0.

Метод контурных токов

Z₁₁I₁₁+Z₁₂I₂₂+Z₁₃I₃₃=E₁₁

Z₂₁I₁₁+Z₂₂I₂₂+Z₂₃I₃₃=E₂₂

Z₃₁I₁₁+Z₃₂I₂₂+Z₃₃I₃₃=E₃₃

• собственные сопротивления контуров:

Z₁₁=R₂+R₄+jX_L=144+j41,469;

Z₂₂=R₂+R₃+R₅+jX_L=276+j41,469;

Z₃₃=R₄+R₅+R₆-jX_C=246-j241,144;

• общие сопротивления контуров:

Z₁₂=Z₂₁=R₂+jX_L=72+j41,469;

Z₁₃=Z₃₁=-R₄=-72;

Z₂₃=Z₃₂=R₅=102;

• контурные ЭДС:

E₁₁=E=129,904+j75;

E₂₂=U_J;

E₃₃=0.

В выбранной совокупности контуров:

I₂₂=J=1,732+j A.

Следовательно, второе уравнение в системе может быть исключено из совместного рассмотрения при ее решении относительно неизвестных контурных токов I₁₁ и I₃₃. После подстановки численных значений система, сокращенная на одно уравнение, примет вид:

(144+j41,469)I₁₁-72I₃₃=46,669-j68,824

-72I₁₁+(246-j241,144)I₃₃=-176,664-j102

Решать данную систему целесообразно с применением правила Крамера.

Определители системы:

144+j41,469 -72

= = 40240-j24523,362

-72 246-j241,144

46,669-j68,824 -72

₁₁= = -17835,729-j35528,653

-176,664-j102 246-j241,144

144+j41,469 46,669-j68,824

₃₃= = -17849,61-j26969,407

-72 -176,664-j102

Токи I₁₁ и I₃₃ находятся по формулам:

I₁₁=₁₁/=0,069-j0,841 A,

I₃₃=₃₃/=-0,025-j0,686 A.

Напряжение на источнике тока найдем, решив второе уравнение в системе:

U_J=473,856+j220,162= 522.504e^j24,9 В.

В соответствии с условно принятыми положительными направлениями вычислим токи ветвей:

I₁=I₁₁=0,069-j0,841=0,844e^-j85,3 A;

I₂=I₁₁+I₂₂=1,801+j0,159=1,808e^j5 A;

I₃=J=1,732+j=2e^j30 A;

I₄=I₁₁-I₃₃=0,095-j0,155=0,182e^-j58,5 A;

I₅= I₂₂+I₃₃=1,706+j0,314=1,735e^j10,4 A;

I₆= I₃₃=-0,025-j0,686=0.686e^j267,9 A.

Мгновенные значения токов и напряжения на источнике тока

Поскольку угловая частота равна =2f, а амплитуда связана с действующим значение с помощью соотношения I_m=2I, следовательно,

i₁(t)=1,194sin(314t-85,3^o) A;

i₂(t)=2,557sin(314t+5^o) A;

i₃(t)=2,828sin(314t+30^o) A;

i₄(t)=0,257sin(314t-58,5^o) A;

i₅(t)=2,454sin(314t+10,4^o) A;

i₆(t)=0,970sin(314t+267,9^o) A;

u_J(t)=738.932sin(314t+24,9^o) A.

Баланс активных и реактивных мощностей

Комплексная мощность источников:

S_ист=EI₁+JU_J=986,769+j21.889,

где I и J – сопряженные комплексы тока.

Комплексная мощность потребителей:

S_потр=P_потр+jQ_потр,

где

активная мощность:

P_потр=I₂²R₂+J²R₃+I₄²R₄+I₅²R₅+I₆²R₆=986,667 Вт,

реактивная мощность:

Q_потр=I₂²X_L-I₆²X_C= 22,075 Вар

(в формулах мощности потребителей I_i – действующие значения токов).

Относительная погрешность расчета:

_P=(P_ист-P_потр)/P_ист*100%=0,01%; _Q=(Q_ист-Q_потр)/Q_ист*100%=0,8%.

Векторная топографическая диаграмма токов и напряжений

I₁=I₁₁=0,069-j0,841=0,844e^-j85,3 A;

I₂=I₁₁+I₂₂=1,801+j0,159=1,808e^j5 A;

I₃=J=1,732+j=2e^j30 A;

I₄=I₁₁-I₃₃=0,095-j0,155=0,182e^-j58,5 A;

I₅= I₂₂+I₃₃=1,706+j0,314=1,735e^j10,4 A;

I₆= I₃₃=-0,025-j0,686=0.686e^j267,9 A.

Определение потенциалов точек

Примем _A=0, тогда

_B=_A+E=129,904+j75=150е^j30 B;

_C=_B+JR₃=306,568+j177=353,996e^j30 B;

_D=_C-U_J=-167,288-j43,162=172.766e^j194,5 B;

_K=_D+I₆jX_C=-1,863-j49,191=49.226e^j267,8 B;

проверка №1: _A=_K-I₆R₆=-0,063+j0,2010+j0 B;

_F=_B-I₂jX_L=136,498+j0,314=136,498e^j0,1 B;

_E=_F-I₂R₂=6,826-j11,134=13,06e^-j58,5 B;

проверка №2: _A=_E-I₄R₄=-0,014+j0,026.

Метод узловых потенциалов

Обозначим узел А – узел 4, узел В – узел 1, узел D – узел 2, узел E – узел 3.

₄=0  ₁=E.

₁Y₁₁+₂Y₁₂+₃Y₁₃=J₁₁ ₂Y₂₂+₃Y₂₃=J₂₂-EY₂₁

₁Y₂₁+₂Y₂₂+₃Y₂₃=J₂₂  ;

₁Y₃₁+₂Y₃₂+₃Y₃₃=J₃₃ ₂Y₃₂+₃Y₃₃=J₃₃-EY₃₁

• собственные узловые проводимости:

Y₂₂=1/R₅+1/(R₆-jX_C);=

Y₃₃=1/R₄+1/R₅+1/(R₂+jX_L);=

• общие узловые проводимости:

Y₂₃=Y₃₂=-1/R₅;=1/116

Y₂₁=0;

Y₃₁=-1/(R₂+jX_L);=1/76+j

• узловые токи:

J₂₂=-J;

J₃₃=0.

Решив систему уравнений, определим неизвестные ₂ и ₃. Далее, используя обобщенный закон Ома, рассчитаем токи ветвей:

I₂=(E-₃)/(R₂+jX_L);

I₃=J;

I₄=₃/R₄;

I₅=(₃-₂)/R₅;

I₆=₂/(R₆-jX_C);

По I закону Кирхгофа определим ток I₁:

узел B: I₁+J-I₂=0;

I₁=(E-₃)/(R₂+jX_L)-J.

Метод наложения

С использованием принципа суперпозиции определим ток I₂ в общем виде. Поскольку в цепи два источника, для определения искомого тока строятся две подсхемы, каждая из которых содержит только один из источников.

I₂^E

R₄ R₂ X_L R₅

R₆ R₃

I₂^J

X_L + R₂ R₄ R₆

X_C J

I₅^J E

R₅ X_C

R₆-jX_C

I₅^J= J---------------------------------- ;

R₄(R₂+jX_L)

R₆-jX_C+R₅+ -----------------

R₄+R₂+jX_L

R₄

I₂^J= I₅^J----------------- ;

R₄+R₂+jX_L

E

I₂^E=--------------------------------- .

R₄(R₅+R₆-jX_C)

-------------------- +R₂+jX_L

R₄+R₅+R₆-jX_C

Искомый ток I₂= I₂^J+ I₂^E.

Метод эквивалентного генератора

С использованием теоремы об активном двухполюснике определим ток I₂.

Напряжение холостого хода на зажимах определяется по II закону Кирхгофа.

R₆

U_XX R₃

Z_вх

X_C R₄

E

J

R₄ R₅

R₅

I_4X I_5X

R₆ X_C

I_6X

U_XX=E-I_4XR₄.

Ток I_4X определяется по формуле:

R₆-jX_C

I_4X=-I_4X^J=- (J --------------------) = -1,461-j0,027 A.

R₄+R₅+ R₆-jX_C

Напряжение холостого хода:

U_XX=235,096+j76,944 B.

Определение входного сопротивления пассивного двухполюсника:

R₄(R₅+ R₆-jX_C)

Z_вх= --------------------- = 61,701-j10,096 Ом.

R₄+R₅+ R₆-jX_C

U_XX

С учетом Z₂=R₂+jX_L искомый ток I₂= ---------- = 1,795+j0,154 A.

Z_вх+ Z₂