11.. Максимальное, среднее, действующее значения несинусоидальной функции

Максимальное значение несинусоидальной периодической функции – наибольшее по модулю значение функции за период.

Среднее по модулю значение определяется по формуле:

. (2.12)

Если кривая f(t) симметрична относительно оси абсцисс и в течение половины периода ни разу не изменила знака, то среднее по модулю значение равно среднему значению за половину периода:

,

причем начало отсчета времени в этом выражении должно быть выбрано так, чтобы f(0)=0. Если за весь период функция ни разу не изменила знака, то среднее по модулю значение равно постоянной составляющей.

При несинусоидальных периодических воздействиях, как и при синусоидальных, обычно под значением ЭДС, тока или напряжения понимают действующее значение.

Действующее значение несинусоидальной функции – среднеквадратическое за период от мгновенного значения этой функции

. (2.13)

Рассмотрим действующее значение на примере напряжения. Пусть

,

тогда

(2.14)

Рассмотрим интегралы от каждого из слагаемых в отдельности.

1. –это квадрат постоянной составляющей напряжения;

2. , т.к. этот интеграл по определению равен квадрату действующего значения U_k гармонической составляющей напряжения k-й гармоники;

3. , т.к. интеграл от синусоидальной величины за целое число периодов равен нулю;

4. , где p  q; подынтегральное выражение является разностью двух косинусоидальных функций, интеграл каждой из которых за целое число периодов равен нулю.

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального напряжения

, (2.15)

т.е. действующее значение периодического несинусоидального напряжения равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и квадратов действующих значений всех гармонических составляющих. Так же определяется действующее значение периодического несинусоидального тока:

. (2.16)

Аналогичным образом определяется действующее значение любой другой периодической несинусоидальной величины.

Несинусоидальные токи и напряжения измеряют приборами различных систем. Приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем реагируют на действующее значение, магнитоэлектрические приборы с выпрямителем – на среднее значение, магнитоэлектрические без выпрямителя – на постоянную составляющую.

12, Активная и полная мощность несинусоидального тока

Выражение мгновенной мощности

(2.21)

справедливо для токов и напряжений с любой формой кривой.

Под активной мощностью несинусоидального тока понимают, как и в цепях синусоидального тока, среднее значение мгновенной мощности за период первой гармоники:

. (2.22)

Если представить напряжения и ток рядами Фурье

то активная мощность будет представлена суммой интегралов таких же четырех типов, что и при рассмотрении действующего значения периодического несинусоидального тока.

Таким образом,

, (2.23)

где .

Активная мощность при периодических несинусоидальных токах и напряжениях равна сумме активных мощностей постоянной (мощности постоянного тока) и всех гармонических составляющих тока и напряжения.

Реактивной мощностью периодических несинусоидальных токов можно условно считать величину, равную сумме реактивных мощностей отдельных гармоник:

. (2.24)

По аналогии с синусоидальными токами вводят понятие полной мощности, определяемой как произведение действующих значений токов и напряжений:

. (2.25)

В отличии от цепи синусоидального тока,

(равенство имеет место при активной нагрузке). Это объясняется тем, что полная мощность содержит все гармоники, в том числе и произведения токов и напряжений разной частоты, поэтому для несинусоидальных токов в квадрат полной мощности обычно больше суммы квадратов активной и реактивной мощностей

Мощность искажения

(2.26)

характеризует степень различия в формах кривых напряжения uи токаi.

По аналогии с синусоидальными функциями отношение активной мощности при несинусоидальных токах к полной мощности условно называют коэффициентом мощности

(2.27)

, если цепь обладает только одним активным сопротивлением, во всех остальных случаях.

Пусть напряжение синусоидально, а ток несинусоидален. В этом случае

.

Действующее значение тока

.

Следовательно,

Таким образом, появление высших гармоник в кривых напряжения и тока приводит к снижению коэффициента мощности по сравнению со случаем, когда ток и напряжение при тех же действующих значениях синусоидальны. Следовательно, уже хотя бы в этом отношении появление высших гармоник нежелательно. Поэтому стремятся конструировать генераторы переменного тока так, чтобы кривая ЭДС в них была по возможности близка к синусоиде.