10. Расчет линейной электрической цепи при несинусоидальных периодических воздействиях

Если в линейной электрической цепи действует один или несколько источников несинусоидальных периодических ЭДС и токов, то расчет такой цепи ведется в три этапа.

1. Разложение ЭДС и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие, т.е. в ряд Фурье. Часто встречающиеся в электротехнике периодические кривые и их разложение в ряд Фурье приведены в учебниках по ТОЭ и математических и электротехнических справочниках.

2. Применение принципа наложения, согласно которому мгновенное значение тока любой ветви (напряжения на любом участке) равно сумме мгновенных значений токов (напряжений) отдельных гармоник, и расчет токов и напряжений в цепи для каждой гармоники в отдельности.

3. Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих.

Рассмотрим подробнее второй этап, представляющий собой основную часть расчета.

Пусть несинусоидальная ЭДС представлена в виде суммы постоянной и синусоидальных составляющих

,

тогда согласно принципу наложения источник несинусоидальной ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными кратными частотами (рис. 2.3):

.

Если заданы токи несинусоидальных источников, то подход к решению задачи остается таким же. Источники несинусоидального тока можно представить в виде параллельного соединения нескольких источников, синусоидальный ток каждого из которых равен соответствующей составляющей несинусоидального тока (рис. 2.4).

Далее можно определить токи и напряжения, возникающие от действия постоянных составляющих ЭДС и задающих токов источников, после этого – токи и напряжения от действия первых гармоник, затем от вторых гармоник и т.д. Мгновенное значение тока или напряжения в цепи будет равно сумме мгновенных значений составляющих токов или напряжений от действия каждого из источников. Если, например, в какой-либо ветви токи, создаваемые ЭДС E₀, e₁, e₂, соответственно равны I₀, i₁, i₂, то полный ток

.

Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными воздействиями сводится к решению n задач с синусоидальными ЭДС, где n – количество синусоидальных составляющих ЭДС различных частот, и одной задачи с постоянной ЭДС. При этом необходимо помнить, что напряжение на индуктивности от постоянного тока равно нулю (), а постоянный ток через емкость не проходит (). Следует также учитывать, что индуктивное сопротивление растет прямо пропорционально частоте; поэтому для k-ой гармоники

. (2.28)

Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты; поэтому для k-ой гармоники X_Ck в k раз меньше, чем для первой гармоники

. (2.29)

Поскольку каждая составляющая в (2.3) является либо постоянной, либо синусоидальной функцией времени, то для расчета каждой из них в отдельности могут быть применены все методы расчета цепей: метод контурных токов, метод узловых потенциалов и т.д. При расчете каждой из гармоник можно пользоваться символическим методом и строить векторные диаграммы для каждой из гармоник в отдельности. Однако недопустимы суммирование векторов и сложение комплексных напряжений и токов различных гармоник, поскольку угловые скорости вращения векторов различных частот неодинаковы. Суммировать можно лишь мгновенные значения, выраженные как функции времени. При вычерчивании графиков отдельных гармоник следует помнить, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. Следовательно, если по оси абсцисс отложить t, то, соблюдая один и тот же масштаб, вместо углов _k надо откладывать углы.

Таким образом, алгоритм расчета цепи с несинусоидальными периодическими воздействиями следующий:

1. Разложение ЭДС и/или задающего тока источника в тригонометрический ряд Фурье.

2. Расчет токов и напряжений для каждой гармоники.

2.1. Для постоянной составляющей цепь преобразуется с учетом того, что X_L(0) = 0, X_C(0) = , и рассчитывается одним из методов постоянного тока.

2.2. Для основной (первой) гармоники символическим методом (метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора, метод наложения) рассчитываются необходимые токи и напряжения.

2.3. Для высших гармоник определяются параметры цепи по формулам (2.28) и (2.29) и при использовании того же метода расчета, что и в 2.2, рассчитываются токи и напряжения.

3. Совместное рассмотрение решений для каждой гармоники.

Пример. Определить ток i₁(t) в цепи на рис. 2.5.

Известно, что в цепи действует несинусоидальный периодический источник и.

Для определения токаi₁(t) необходимо независимо рассчитать три схемы (рис. 2.5).

Постоянную составляющую тока i₁(t) находим, используя схему рис. 2.6, а. Поскольку конденсатор не

пропускает постоянный ток, а индуктивность представляет нулевое сопротивление постоянному току, то схема становится одноконтурной и постоянная составляющая тока i₁(t)

,

где первый индекс означает номер ветви, а второй индекс, заключенный в скобки, – номер гармоники.

Первую гармонику тока находим в соответствии со схемой рис. 2.6, б. Из условия задачи ясно, что на частоте₁ в цепи наблюдается резонанс напряжений, поэтому

.

Примечание: если воздействующая ЭДС несинусоидальна, то в электрической цепи могут возникать резонансные режимы (резонансы токов или резонансы напряжений) не только на первой гармонике, но и на высших гармониках. Под резонансом на k-ой гармонике понимают такой режим работы, при котором ток k-ой гармоники на входе цепи по фазе совпадает с k-ой гармоникой действующей на входе ЭДС (но при этом токи остальных гармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их ЭДС). Резонанса можно достичь, изменяя частоту, емкость или индуктивность. При возникновении резонансного или близкого к нему режима на какой-либо высшей гармонике токи или напряжения этой гармоники могут оказаться большими, чем токи и напряжения первой гармоники на участках цепи, несмотря на то, что амплитуда соответствующей высшей гармоники ЭДС на входе цепи может быть в несколько раз меньше амплитуды первой гармоники ЭДС.

Вторую гармонику определяем в соответствии со схемой рис. 2.6, в. Определим сопротивления реактивных элементов

Комплексное действующее значение второй гармоники тока i₁

.

Мгновенное значение тока i₁(t) для схемы на рис. 2.5 равно сумме мгновенных значений тока отдельных гармоник:

.

Действующее значение тока.