53. Метод пространства состояний

В основе метода пространства состояний лежит схемное эквивалентирование рассмотренного ранее алгоритма расчета переходных процессов классическим методом, придающее процедуре отыскания начальных условий наглядность и сводящееся к расчету резистивных цепей с источниками постоянных воздействий.

В исходной цепи выделяются источники воздействий V₁, V₂ … V_K и все независимые накопители энергии: индуктивности L₁, L₂ … L_q и емкости C₁, C₂ … C_m (рис. 4.29). Пусть цепь имеет q независимых индуктивностей и m независимых емкостей. Остальная часть цепи, содержащая только резисторы, условно изображается в виде многополюсника. Для определения начальных значений токов и напряжений изображается расчетная резистивная цепь, характеризующая распределение токов и напряжений в момент начала переходного процесса t = 0⁺ (рис. 4.30). В этой цепи индуктивности заменяют содействующими источниками тока с задающими токами, равными , емкости – противодействующими источниками напряжения с задающими ЭДС, равными, определяемыми независимыми начальными условиями с помощью докоммутационной цепи.

С помощью полученной вспомогательной цепи, применив любой известный расчетный метод, определяют величины искомых выходных сигналов в момент t = 0⁺.

Для определения величин производных от выходных сигналов в момент t = 0⁺ с помощью цепи (рис. 4.30) определяют величины и, рассчитави. Далее строится расчетная вспомогательная цепь, эквивалентирующая первое дифференцирование уравнений состояния. Токи и напряжения в данной цепи (рис. 4.31), по существу, составляют производные от этих величин в момент t = 0⁺.

Далее процедура расчета продолжается аналогично описанной до получения начальных значений высших производных. Исходной информацией для построения каждой i-последующей вспомогательной цепи служат значения i-производной напряжений на емкостях и токов в индуктивностях, определяемых через значения (i – 1)-производной соответствующих токов в емкостях и напряжений на индуктивностях. В соответствии с соотношениями

(4.38)

Следует отметить, что для неизменных во времени воздействий во всех вспомогательных подсхемах, начиная со схемы, соответствующей первым производным сигналов (рис. 4.31), источники напряжения заменяются короткозамкнутыми участками , а ветви с источниками тока размыкаются.

Это замечание справедливо и для источников, которые замещают реактивные элементы при нулевых начальных условиях (и).

Описанный способ определения начальных значений выходных сигналов и их производных легко формализуется и может быть автоматизирован, что делает его более привлекательным в сравнении с традиционным.

Рассмотренные резистивные схемы замещения могут быть применены при расчете переходных процессов не только классическим методом, но и достаточно популярным сейчас методом пространства состояний. Преимуществом данного метода является возможность его полной автоматизации.

В основе алгоритма расчета лежит рекуррентное соотношение, полученное в результате анализа уравнений состояния электрической цепи, которые в матричной форме имеют вид

(4.39)

(4.40)

где – матрицы – столбцы переменных состояния и их производных размерностиn1, где n – порядок цепи;

V – матрица – столбец входных функций размерности m1, где m – число входных функций;

Y – матрица – столбец выходных величин размерностью l1, где l – число выходных величин;

A, B, C, D – матрицы связи, размерности которых соответственно (nn), (nm), (ln), (lm).

Как известно, переменными состояния называют величины, число которых определяется порядком электрической цепи и значения которых достаточно для однозначного описания цепи в целом. Поскольку ток индуктивностей и напряжение на емкостях следует рассматривать как главные переменные, характеризующие состояние цепи, именно их и целесообразно выбирать в качестве переменных пространства состояния. Интегрирование дифференциальных уравнений из системы (4.39) с целью определения переменных состояния и нахождения выходных величин путем решения алгебраических уравнений (4.40) может выполняться различными методами. Это – аналитическое решение, как в области оригиналов, так и в области изображений по Лапласу, а также аналоговое и цифровое моделирование с привлечением вычислительной техники. Цифровое моделирование, являющееся наиболее предпочтительным особенно для систем высокого порядка, основано на численном интегрировании с применением метода Эйлера, которое предполагает квантование интеграла интегрирование на одинаковые отрезки (шаг интегрирования) и замену операции дифференцирования отношением конечных разностей.

В результате, на основе (4.39) получают рекуррентное соотношение

, (4.41)

где n – текущий шаг квантования;

–шаг интегрирования;

Х_n – значения переменной состояния на n-ом шаге;

V_n – значения входного сигнала на n-ом шаге;

А, В – матрицы связи.

Нахождение коэффициентов матриц связи А и В возможно путем записи полной системы уравнений Кирхгофа и преобразования их к совокупности n дифференциальных уравнений первого порядка в форме (4.39) относительно токов индуктивностей и напряжений на емкостях. Точно так же совокупность l алгебраических уравнений Кирхгофа, выражающих в форме (4.40) выходные величины, определяют коэффициенты матриц С и D. Однако возможно применение стандартной процедуры построения матриц связи, не требующей предварительного составления уравнений Кирхгофа. Основанием для этого служит то обстоятельство, что элементы матриц A, B, C, D являются псевдопередаточными коэффициентами вспомогательных резистивных цепей.

Для рассматриваемой цепи (рис. 4.29), содержащей q индуктивностей и m емкостей, система уравнений (4.39) запишется в следующем виде (4.42).

Объединим уравнения (4.42) и уравнения (4.40), принимая во внимание (4.38) и учитывая, что q + m = n. При этом введем расширенную матрицу реакций, в которую войдут нормированные напряжения индуктивностей , нормированные токи емкостейи выходные величиныY_p, часть которых может быть токами, а часть – напряжениями.

(4.42)

С целью нахождения коэффициентов матриц связи запишем для момента t = 0⁺ эту объединенную совокупность алгебраических уравнений в матричной форме

(4.43)

.

Если в уравнении (4.43) попеременно помечать все начальные значения равными нулю, кроме одного, приравниваемого единице, значения элементов расширенной матрицысовпадут с элементами соответствующего столбца матрицA и C либо B и D. Данное утверждение формирует алгоритм определения искомых матриц, основанный на принципе суперпозиции.

В исходной цепи (рис. 4.29) выделяются источники воздействия, индуктивности и емкости, затем образуется расчетная резистивная цепь, в которой удалены все источники воздействия (источники ЭДС замыкают накоротко, ветви с источниками тока размыкают), оборваны ветви, содержащие индуктивности и замкнуты накоротко емкости.

Эта цепь рассчитывается по методу наложения. Сначала единичный источник тока включают поочередно q раз вместо каждой индуктивности, далее единичный источник напряжения включают поочередно m раз вместо каждой емкости. И, наконец, единичные источники напряжения и тока включаются поочередно k раз в ветви, где были расположены источники соответствующих воздействий V_i. при расчете каждой из таких вспомогательных схем определяются значения напряжений , токов и выходных величин Y_p, которые удобно записывать в виде таблицы 4.1, содержащей искомые значения элементов матриц.

1. Таблица 4.1

66