Линейная алгебра
.pdf
|
ванием. Критерий Сильвестра положи |
|
ределённости квадратичной формы. |
|
|
||
|
тельной |
определенности |
квадратичной |
|
|
|
|
|
формы. Квадратичные формы в вещест |
|
|
|
|
||
|
венном |
пространстве. Закон инерции |
|
|
|
|
|
|
квадратичных форм. |
Квадратичные |
|
|
|
|
|
|
формы в евклидовом пространстве. |
|
|
|
|
||
15 |
|
Итого |
|
15 |
|
|
64 |
11
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ |
1. |
Матрицы. Для данной матрицы A, приведенной для каждого ва |
рианта в прил. 1: |
|
а) |
вычислить определитель матрицы A; |
б) |
вычислить след матрицы A; |
в) |
найти (если это возможно) матрицу, обратную к матрице A; |
г) |
найти базис линейной оболочки системы векторов — столбцов |
матрицы A; |
|
д) |
определить ранг матрицы A; |
е) |
найти собственные значения матрицы A и соответствующие им |
собственные векторы. |
|
2. |
Системы линейных алгебраических уравнений. Для данной |
системы линейных уравнений, заданной в прил. 2 расширенной матри цей (А | b)
а) |
найти общее решение и два различных базисных решения дан |
ной системы линейных уравнений; |
|
б) |
найти матрицы ААт, АтА, bbт, bтb, прокомментировать их свойст |
ва (ортогональность, симметричность, знакоопределенность). |
|
3. |
Геометрические свойства решений системы линейных алгеб |
раических уравнений. Для данной системы линейных уравнений и дан ного вектора y (расширенная матрица системы уравнений и вектор y для каждого варианта приведены в прил. 3):
а) |
проверить, является ли вектор y решением данной системы ли |
нейных уравнений; |
|
б) |
найти ортогональную проекцию и ортогональную составляю |
щую вектора y на подпространство всех решений заданной системы уравнений;
в) |
найти угол между вектором y и подпространством ; |
г) |
найти расстояние от вектора y до подпространства . |
4.Гиперплоскость. Для гиперплоскости, заданной уравнением
c1x1 + c2x2 + + c3x3 + c4x4 = 0 (числа c1, c2, c3 и c4 приведены для каждого варианта в прил. 4):
а) |
найти ортонормированный базис гиперплоскости; |
б) |
найти матрицу ортогонального проектирования на эту гиперп |
лоскость.
5.Расстояние между прямыми. Найти расстояния между прямы
ми a1 + b1x и a2 + b2x, где векторы a1, a2, b1 и b2 приведены для каждого ва рианта в прил. 5.
6.Линии второго порядка. Привести уравнение линии второго по рядка к каноническому виду, определить тип этой линии и начертить ее (уравнения для каждого варианта приведены в прил. 6).
12
7. Квадратичные формы. Привести квадратичную форму F(x, y, z), приведенную для к4аждого варианта в прил. 7, к каноническо му виду, определить вид поверхности, заданной уравнением F(x, y, z), а также знакоопределенность квадратичной формы.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.Матрицы, их классификация, сложение матриц и умножение матри цы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы, свойства операций над матрицами.
2.Элементарные преобразования матриц и матрицы элементарных преобразований, теорема о приведении произвольной матрицы к верхней тра пециевидной форме.
3.Определитель и след квадратной матрицы, из свойства.
4.Ортогональная матрица, теорема об определителе ортогональной матрицы.
5.Линейные операции над геометрическими векторами и их свойства.
6.Линейное пространство, подпространство линейного пространства, линейное многообразие, линейная оболочка, сумма и пересечение подпро странств, изоморфизм линейных пространств.
7.Линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл.
8.Базис и размерность линейного пространства, координаты вектора.
9.Ранг матрицы, теорема о базисном миноре, инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований.
10.Аффинная и прямоугольная декартова системы координат.
11.Проекции геометрического вектора на плоскости и в пространстве.
12.Скалярное, векторное и смешанное произведения геометрических векторов.
13.Преобразование аффинной и прямоугольной декартовой системы координат.
14.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
15.Системы линейных уравнений: основные определения, каноническая форма записи системы линейных алгебраических уравнений.
16.Система линейных уравнений с квадратной невырожденной матри цей, правило Крамера.
17.Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений, формулы исключения (вывод), правило прямоугольника.
18.Исследование и решение системы линейных алгебраических урав нений методом последовательного исключения неизвестных Жордана — Га усса.
19.Геометрические свойства решений системы линейных уравнений.
20.Поиск различных предпочитаемых эквивалентов системы линейных алгебраических уравнений и базисных решений, общего решения.
21.Преобразование системы линейных алгебраических уравнений с со хранением неотрицательности правых частей уравнений, поиск различных базисных неотрицательных решений, правила выбора разрешающей неиз вестной и разрешающего уравнения, их обоснование.
13
22.Системы линейных алгебраических неравенств: основные определе ния, сведение к системе линейных алгебраических уравнений.
23.Обратная матрица: определение, свойства, условие существования.
24.Обращение матрицы методом Жордана.
25.Обращенный базис системы линейных алгебраических уравнений. Приведение системы линейных алгебраических уравнений к предпочитаемо му виду с помощью обращенного базиса.
26.Прямая, различные виды уравнений прямой на плоскости и плоско сти в пространстве.
27.Взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в про странстве, полуплоскость и полупространство, линейные неравенства.
28.Прямая на плоскости и плоскость в пространстве в прямоугольной декартовой системе координат.
29.Прямая в пространстве, взаимное расположение прямых в простран
стве.
30.Системы линейных неравенств.
31.Комплексные числа и операции над ними.
32.Сопряженная матрица и ее свойства.
33.Многочлены, деление многочленов, корни многочлена, теорема Безу, основная теорема алгебры.
34.Многочлены с вещественными коэффициентами.
35.Многочлены от матрицы, теорема Гамильтона — Кэли.
36.Эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения и свойства.
37.Общее уравнение линии второго порядка на плоскости, характери стический многочлен, метод вращений.
38.Классификация линий второго порядка на плоскости, каноническое уравнение, метод Лагранжа.
39.Скалярное произведение векторов, неравенство Коши — Буняков
ского.
40.Евклидовы и метрические пространства, длина вектора, расстояние между двумя векторами, расстояние между двумя множествами в евклидовом пространстве.
41.Ортогональные векторы, ортогональный и ортонормированный базис линейного пространства, процесс ортогонализации Грама — Шмидта.
42.Свойства матрицы Грама и определителя Грама.
43.Теорема Пифагора, линейные многообразия в евклидовом простран
стве.
44.Линейное нормированное пространство.
45.Линейный оператор и его матрица, свойства линейного оператора.
46.Произведение линейных операторов, образ и ядро линейного опера тора, обратный оператор.
47.Собственные значения и собственные векторы матрицы.
48.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Оператор простой структуры.
49.Симметричная матрица, ее собственные значения и собственные
векторы.
14
50.Самосопряженный линейный оператор, его собственные значения и собственные векторы.
51.Положительно определенная матрица, ее собственные значения и собственные векторы.
52.Неотрицательно определенная матрица, ее собственные значения и собственные векторы.
53.Идемпотентная матрица, ее собственные значения и собственные
векторы.
54.Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
55.Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной
формы.
56.Квадратичные формы в вещественном пространств, закон инерции квадратичных форм.
57.Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве, об щее уравнение гиперповерхности, приведенные уравнения гиперповерхности.
58.Классификация гиперповерхностей второго порядка в евклидовом пространстве.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Ос н о в н а я
1.Соловьев В. И. Математика в экономической сфере: Учебное посо
бие. – М.: Дрофа, 2008.
2.Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник. – М.: Издательство Московского университета, 2002.
3.Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2003.
4.Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная матема тика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА М, 2002.
5.Магнус Я. Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисле ние с приложениями к статистике и эконометрике. – М.: Физматлит, 2002.
До п о л н и т е л ь н а я
6.Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика. Основы эко
нометрики. Ч. 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.: ЮНИ ТИ ДАНА, 2002.
7.Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб ры. – М.: Наука, 1979.
8.Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Физматлит, 2003.
9.Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и анали тической геометрии. – М.: Дрофа, 2003.
10.Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – СПб.: Лань, 2003.
11.Воеводин В. В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
12.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.
15
13.Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971.
14.Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1975.
15.Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная гео метрия. – М.: Наука, 1970.
16.Икрамов Х. Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.
17.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2001.
18.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физмат лит, 2001.
19.Ким Г. Д., Крицков Л. В. Алгебра и аналитическая геометрия: Тео ремы и задачи: В 2 х т. – М.: Зерцало М, 2003.
20.Кострикин А. И. Введение в алгебру: В 3 х ч. – М.: Физматлит, 2001.
21.Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.
22.Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др. Практикум по выс шей математике для экономистов. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.
23.Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Лань, 2003.
24.Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1978.
25.Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: На чальный курс. – М.: Дело, 2003.
26.Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лабора тория базовых знаний, 2003.
27.Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г. Мате матика в экономике: В 2 х ч. Ч. 1. – М.: Финансы и статистика, 2003.
28.Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. – СПб.: Лань, 2001.
16
|
|
|
П р и л о ж е н и е |
1 . Матрицы для исследования |
|||||
Вариант 1. |
|
Вариант 5. |
|
Вариант 9. |
|
||||
|
−1 1 −1 |
|
2 |
−1 −1 |
|
−2 −1 3 |
|
||
|
−1 2 0 |
|
|
−2 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 −2 1 |
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 −1 2 |
|
−3 −2 |
|
−2 −2 3 |
|
|||
Вариант 2. |
|
Вариант 6. |
|
Вариант 0. |
|
||||
|
−1 2 −1 |
|
4 |
−2 −2 |
|
2 1 −1 |
|||
|
−1 2 0 |
|
|
3 |
−1 −3 |
|
|
−4 −2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −1 2 |
|
−1 1 3 |
|
−2 −1 1 |
||||
Вариант 3. |
|
Вариант 7. |
|
|
|
|
|||
|
0 1 0 |
|
|
3 |
1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 3 1 |
|
|
−1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 −1 3 |
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
Вариант 4. |
|
Вариант 8. |
|
|
|
|
|||
|
−1 1 1 |
|
|
0 |
0 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 −2 2 |
|
|
|
|
|
|
−2 2 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 1 2 |
|
|
−2 −4 3 |
|
|
|
П р и л о ж е н и е 2 . Системы линейных алгебраических уравнений
Вариант 1. |
|
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9. |
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
−2 −4 −2 |
|
6 |
|
|
1 |
2 |
−2 |
−3 |
|
|
|
4 |
|
1 |
−2 2 3 |
|
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
−3 2 1 −4 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
−5 1 4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 |
5 |
|
|
9 |
|
|
3 |
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
−2 1 0 −3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
1 −1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
−3 −1 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Вариант 2. |
|
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 0. |
|
|||||||||||||||||||
|
−2 −1 0 −5 |
|
−1 |
|
|
1 |
2 |
−3 −4 |
|
1 |
|
1 |
−3 1 2 |
|
4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
−1 3 7 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −1 |
|
|
|
|
|
|
−5 4 3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
7 |
|
4 |
|
|
2 |
|
7 |
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 3 1 |
|
|
|
|
|
|
3 5 5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вариант 3. |
|
Вариант 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
1 −1 5 |
|
−1 |
|
1 |
3 |
−1 −2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
−3 −2 −1 −4 |
|
5 |
|
|
2 |
7 |
−4 −3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
0 −1 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
−3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Вариант 4. |
|
Вариант 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
3 2 −1 |
|
3 |
|
|
1 |
−2 2 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
−1 3 1 −5 |
|
|
|
|
|
|
|
−3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6 |
|
|
2 |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−2 2 0 −6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
−5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6 |
|
|
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и л о ж е н и е |
3 . Системы уравнений и векторы |
|||||||||
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
−2 |
|
0 |
|
y = (0; 0; 6; 0) |
||
|
|
|
||||||||
(A | b) = |
|
−2 |
|
−1 |
|
, |
||||
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
|
0 |
|
y = (–2; –4; 2; –2) |
||
|
||||||||||
(A | b) = |
|
−2 |
|
|
|
|
, |
|||
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
17
Вариант 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
y = (–1; 3; 3; 4) |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||
(A | b) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
−1 |
0 |
|
0 |
y = (–2; –3; 0; –1) |
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
(A | b) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
1 |
1 |
|
1 |
2 |
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
−1 |
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
y = (–5; –1; 1; –1) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||
(A | b) = |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
y = (–2; 1; –2; 3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(A | b) = |
−2 0 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вариант 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
y = (2; 3; 1; –1) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(A | b) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||
2 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вариант 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
y = (–4; 1; 1; 1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(A | b) = |
|
|
|
|
−1 |
|
, |
||||||||||
2 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A | b) = |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
y = (0; 4; 1; 2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
−1 1 |
|
|
|
, |
|
|||||||||
Вариант 0. |
1 |
|
2 |
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
y = (–1; 1; 1; –2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(A | b) = |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и л о ж е н и е |
4 . Гиперплоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c1 = 1, c2 = –2, c3 = 7, c4 = 4 |
|
|
c1 = 1, c2 = 8, c3 = 5, c4 = –2 |
|
|||||||||||||||||||||
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c1 = 1, c2 = 4, c3 = –3, c4 = 5 |
|
c1 = –2, c2 = –6, c3 = 1, c4 = 1 |
|
||||||||||||||||||||||
Вариант 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c1 = 5, c2 = 2, c3 = –1, c4 = 7 |
|
c1 = 2, c2 = 2, c3 = –4, c4 = –4 |
|
||||||||||||||||||||||
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c1 = –1, c2 = –1, c3 = 2, c4 = 5 |
|
|
c1 = –5, c2 = 2, c3 = 6, c4 = 3 |
|
|||||||||||||||||||||
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c1 = –1, c2 = 3, c3 = –2, c4 = 4 |
|
c1 = 3, c2 = –2, c3 = 3, c4 = –1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
П р и л о ж е н и е 5 . Прямые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
||||
a |
= 2 |
, b |
= |
1 |
, a |
2 |
= |
0 |
, b |
2 |
= |
2 |
a = |
2 |
, b = |
1 |
, a |
2 |
= |
1 |
, b |
2 |
= |
2 |
||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
||||||
a |
= 2 |
, b |
= |
−1 |
, a |
2 |
= |
2 |
, b |
2 |
= 0 |
a = |
3 , b = |
|
2 |
, a |
2 |
= |
0 |
, b |
2 |
= |
−1 |
|||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
1 |
18
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
−1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
0 |
||||||||
a = 2 , b = |
|
1 |
, a |
2 |
= |
2 , b |
2 |
= |
2 |
a |
= |
1 |
, b |
= |
1 |
, a |
2 |
= −1 |
|
, b |
2 |
= 2 |
|||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
||||
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
−2 |
|
|
|
1 |
||||||||||
a |
= 2 |
|
, b |
= |
−1 |
, a |
2 |
= |
1 |
, b |
2 |
= |
0 |
a |
= −2 |
, b |
|
= |
−1 |
, a |
2 |
= |
0 |
|
, b |
2 |
= 0 |
||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
4 |
|||||
Вариант 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
||||||||
a |
= 1 |
, b = |
2 |
, a |
2 |
= |
3 |
, b |
2 |
= |
1 |
a |
= |
0 |
, b |
= |
2 |
, a |
2 |
|
= −3 |
|
, b |
2 |
= 2 |
||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
П р и л о ж е н и е |
6 . Линии второго порядка |
Вариант 1. |
Вариант 6. |
x2 – 2xy + y2–10x – 6y+ +25 = 0 |
5x2 + 4xy+8y2 – 32x–56y + 80 = 0 |
Вариант 2. |
Вариант 7. |
xy + x + y = 0 |
5x2 + 12xy–22x – 12y–19 = 0 |
Вариант 3. |
Вариант 8. |
5x2 + 8xy+5y2 –18x–18y + 9 = 0 |
4x2 – 12xy+9y2 – 2x+3y – 2 = 0 |
Вариант 4. |
Вариант 9. |
5x2 + 6xy+5y2 – 16x–16y – 16 = 0 |
4xy + 3y2+16x + 12y–36 = 0 |
Вариант 5. |
Вариант 0. |
x2 + 2xy + y2–8x + 4 = 0 |
2x2 + 4xy+5y2 – 6x–8y – 1 = 0 |
П р и л о ж е н и е |
7 . Квадратичные формы |
Вариант 1.
F(x, y, z) = 4x2 + 6y2+4z2 + 4xz – 8y–4z + 3
Вариант 2.
F(x, y, z) = x2 + 5y2+z2 + 2xy + 6xz +2yz–2x + 6y–10z
Вариант 3.
F(x, y, z) = x2 + y2–3z2 – 2xy – 6xz–6yz + 2x + 2y + 4z
Вариант 4.
F(x, y, z) = x2 – 2y2+z2 + 4xy – 8xz – 4yz–14x – 4y + 14z + 16
Вариант 5.
F(x, y, z) = 2x2 + y2+2z2 – 2xy – 2xz + x–4y – 3z + 2
Вариант 6.
F(x, y, z) = x2 – 2y2+z2 + 4xy – 10xz+4yz + x + y – z
Вариант 7.
F(x, y, z) = 2x2 + y2+2z2 – 2xy – 2xz+4x – 2y
Вариант 8.
F(x, y, z) = x2 + y2–4z2 + 2xy + 4xz+4yz – 6z + 1
Вариант 9.
F(x, y, z) = 4xy+2x + 4y – 6z – 3
Вариант 0.
F(x, y, z) = xy + xz+ yz+ 2x + 2y – 2z
19