Физика / Физика / Лаб. р. -II семестр / +л.р. Обербек

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

«ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С

ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА».

Цель работы: проверить основное уравнение динамики вращательного движения;

Приборы и принадлежности: маятник Обербека; линейка (2 м); секундомер; набор грузов по 100 и 200 г.; капроновая нить (2 м); штангенциркуль; технические весы с разновесом.

Скалярную величину J_i, равную произведению массы материальной точки на квадрат её расстояния r_i до оси вращения, называют моментом инерции материальной точки относительно этой оси – J_i = m_i  r_i². Твердое тело можно представить как систему материальных точек. Сумма моментов инерции материальных точек, образующих вращающееся тело, называется моментом инерции тела относительно его оси вращения.

Основное уравнение динамики вращательного движения представляет собой зависимость углового ускорения  вращающегося тела от момента М приложенной к телу силы, действующей на тело, и момента инерции J тела относительно оси вращения. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

(1)

Это уравнение аналогично второму закону Ньютона а = F/m для поступательного движения. Физические величины, входящие в уравнение (1), аналогичны соответственно ускорению, силе и массе.

Знание моментов инерции тел и основного закона динамики вращательного движения необходимо во многих областях науки и техники, в спортивной медицине, а так же в молекулярной биологии, биофизике и химии для определения размеров сложных биологических молекул.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Маятник Обербека представляет собой крестовину из 4-ёх стержней, укрепленных на ступице под углом 90⁰ друг к другу и шкива. Ступица и шкив радиусом R насажены на общую ось вращения, которая с помощью пластины закреплена в горизонтальном положении на стене (рис.1.). Т.о. вся система может вращаться в подшипниках вокруг горизонтальной оси. На каждом из стержней установлены цилиндрические грузы одинаковой массы m₀, которые можно перемещать вдоль стержней и закреплять винтом в нужном положении. При выполнении работы, грузы m₀ располагаются симметрично относительно оси вращения, что обеспечивает совпадение центра инерции маятника с осью вращения. При перемещении грузов вдоль стержней момент инерции маятника будет изменяться.

На шкив маятника наматывается нить, к концу которой прикрепляется платформа с грузом общей массой m, приводящая маятник во вращение. Вращающий момент создаётся силой натяжения Т нити:

, (2)

где R – радиус шкива. Под воздействием этой силы маятник Обербека приобретает угловое ускорение . Силу натяжения Т можно найти из уравнения движения платформы. По II-ому закону Ньютона: ma = mg-T, откуда

Т = m(g-a), (3)

где а – линейное ускорение платформы, которая будет совершать несвободное падение, g – ускорение свободного падения, m – масса груза на подвесе. Пусть за время t платформа из состояния покоя (υ₀ = 0) проходит по вертикали расстояние h₁. Тогда линейное ускорение а будет определяется по формуле:

(4)

Так как нить сматывается со шкива без скольжения, то линейное ускорение а движущегося груза m равно тангенциальному ускорению а_ точек, лежащих на поверхности шкива, к которым примыкает нить. Используя формулу связи углового ускорения  и тангенциального ускорения а_, вращающейся системы, запишем формулу для вычисления углового ускорения маятника Обербека:

, (5)

где R – радиус шкива.

Экспериментальная проверка уравнения (1) сводится к доказательству того, что при постоянном значении момента инерции J маятника Обербека зависимость углового ускорения  от вращающего момента М силы натяжения нити имеет линейны характер –  ~ М.

В реальных опытах следует учитывать силу трения в подшипниках, которая может существенно исказить результаты, т.к. увеличение массы m платформы ведет к увеличению давления маятника на ось вращения, что вызывает возрастание сил трения, и одновременно уменьшает время движения платформы, что ухудшает точность измерения времени.

Для учета сил трения можно использовать закон изменения полной механической энергии в процессе изучаемого движения. В рассматриваемом случае

W = А_тр. (6),

где W – изменение полной механической энергии системы маятник плюс платформа, А_тр. – работа силы трения в подшипниках.

Пусть в момент времени t = 0 груз массой m находится на высоте h₁ измеренной от уровня, до которого он может опуститься при полном разматывании нити. Тогда потенциальная энергия системы в исходной точке:

, (7)

а в нижней точке траектории –

(8),

где mυ²/2 – кинетическая энергия поступательного движения платформы, а J²/2 – кинетическая энергия вращательного движения маятника.

Согласно (6):

(9),

где F_тр. –сила трения в подшипниках.

При несвободном падении пройдя низшую точку траектории маятник, продолжая вращение по инерции, поднимает груз m на высоту h₂<h₁. Снова используя (6), получим:

(10)

Складывая (9) и (10), имеем, mgh₁ – mgh₂ = F_тр(h₂ + h₁), откуда

. (11)

Учитывая, что в нижней точке траектории υ = аt = 2h₁/t, а угловая скорость маятника  = υ/R = 2h₁/Rt и подставляя (11) в формулу (9), после преобразований, получим для момента инерции маятника Обербека:

(12)

Моменты инерции J₀ однородных тел правильной геометрической формы, вращающихся относительно оси, проходящей через центр масс (точка 0), можно определить расчетным путем – посредством интегрирования (см. лекцию «Вращательное движение»). Если ось вращения тела параллельна оси, проходящей через центр масс, но смещена от нее на расстояние d, то момент инерции J_с относительно новой оси, проходящей через точку С выражается соотношением, называемым теоремой Гюйгенса – Штейнера: , где m –масса тела.

Для составного тела момент инерции равен сумме моментов инерции его отдельных частей.

С помощью маятника Обербека можно провести экспериментальную проверку основного закона динамики вращательного движения, теоремы Штейнера, определить моменты инерции простейших моделей молекул, сопоставляя массу грузов с массами атомов, а стержни – со связями атомов в молекуле и др.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

I. Проверка основного уравнения динамики вращательного движения.

1. Закрепите грузы на стержнях маятника в определённом положении симметрично относительно оси вращения

2. Установите на вертикально укреплённой линейке метку, от которой будет начинаться движение платформы

3. Размотайте нить, намотанную на шкив, полностью и определите на линей положение нижнего края платформы в самой нижней точке траектории.

4. Определите расстояние h₁ от верхней до нижней метки.

5. Плотно в один слой намотайте нить на шкив так, чтобы она свисала с левой стороны шкива. При этом, удерживая маятник за стержень, совместите нижний край платформы с меткой на высоте h₁.

6. Отпустите маятник и одновременно и включите секундомер.

7. Во время прохождения нижней точки траектории будет наблюдаться рывок. В этот момент остановите секундомер. На секундомере при этом будет зафиксировано время движения платформы от верхнего до нижнего положения платформы.

8. Маятник по инерции будет продолжать вращение и поднимет платформа за счет кинетической энергии на высоту h₂ относительно нижней точки траектории. (В этот момент вращение прекратится.)

9. Повторите опыт в соответствии с пунктами 4 – 7 помещая на платформу дополнительные грузы разной массы.

10. Измерьте штангенциркулем диаметр шкива.

11. Рассчитайте по формуле (4) линейное ускорение а.

12. Рассчитайте по формуле (5) угловое ускорение .

13. Рассчитайте по формуле (3) силу натяжения нити.

14. Рассчитайте по формуле (2) вращающий момент М_н.

Результаты всех измерений и вычислений занесите в таблицу.

№ п/п	m, кг	h1,м	t,c	h2,м	а,м/с2	,с-2	Т,Н	М, Нм
1	0,2
2	0,3
3	0,4
4	0,5
5	0,6
6	0,7

15. Постройте график  = f(М_н). Поскольку J = const, то при выполнении формулы (1) должна получиться линейная зависимость.

16. По построенному графику найдите значение момента инерции маятника, которое численно равно котангенсу угла наклона графика к оси М_н.

17. Вычислите момент инерции маятника по формуле (12) для двух значений масс грузов на подвесе и сравните результаты с предыдущим.

Сделайте выводы по результатам опыта.

II. Исследование зависимости силы трения в опоре маятника от нагрузки.

1. Рассчитайте силу трения по формуле (11).

2. Постройте график зависимости F_тр. = f(m).

3. Сделайте соответствующие выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЩИТЫ РАБОТЫ:

1. Что понимают под материальной точкой?

2. Что понимают под абсолютно твёрдым телом?

3. Как определить момент инерции материальной точки?

4. Как определить момент инерции абсолютно твёрдого тела?

5. К каким простым движениям может быть сведено любое сложное движение твёрдого тела?

6. Какое движение называется вращательным?

7. Какое движение называется поступательным?

8. Что называется моментом силы и как его определить? Запишите и поясните формулу. Укажите единицу измерения вращающего момента.

9. Запишите и поясните основное уравнение динамики вращательного движения.

10. Дайте определение величинам, входящим в основное уравнение динамики вращательного движения. Укажите единицы их измерения.

11. Поясните, как найти величину силы натяжения нити. Назовите величины, входящие в формулу, определяющую силу натяжения нити. Укажите единицы их измерения.

12. Запишите формулу, по которой определяют значение линейного ускорения.

13. Запишите формулу связи углового ускорения  и тангенциального ускорения а_, вращающейся системы.

14. Запишите формулу, по которой определяют значение углового ускорения.

15. Выведете расчетную формулу момента инерции маятника Обербека.

16. Поясните, как по результатам эксперимента доказать выполнимость основного уравнения динамики вращательного движения.

17. Как определить момент инерции маятника Обербека по графику зависимости углового ускорения от момента силы, т.е.  = f(М)?

18. Как влияет сила трения при определении момента инерции маятника Обербека на его значение?

19. Какую из величин в данном эксперименте следует измерять с наибольшей точностью?

20. Запишите формулу, по которой определяют значение кинетической энергии поступательного движения платформы.

21. Запишите формулу, определяющую значение кинетической энергии вращатего движения маятника Обербека.

22. Запишите формулу, определяющую значение энергии маятника Обербека в верхней точке траектории.

23. Запишите формулу, определяющую значение энергии маятника Обербека в нижней точке траектории.