2 курс вища математика / Операційне числення методичка
.pdf
Оригінал за формулами |
5, 11, 6 |
|
матиме вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x(t) = - |
|
q |
|
t cost + x0 cos kt + |
1 |
(v0 |
+ |
|
q |
|
) sin kt . |
|||||||||||||
2k |
|
|
|
2k |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||
Перетворимо останній вираз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x(t) = - |
|
q |
t cost + Asin(kt + a), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x0k 2 |
||||||||
|
2 |
|
|
1 |
æ |
|
|
q |
ö |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
де A = |
x0 |
+ |
|
|
|
|
|
çv0 |
+ |
|
÷ |
|
, a = arctg |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
k |
2 |
|
2k |
|
q + |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
2kv0 |
||||||||||
Перший доданок відповіді вказує, що у випадку, коли частота власних коливань співпадає з частотою зовнішньої сили (випадок резонансу) амплітуда коливань 2qtk
може стати необмежено великою.
Приклад 6 Операційним методом знайти частинний розв’язок системи диференціальних рівнянь з початковими умовами
ìx′ + y = 0; |
x(0) =1; |
í |
|
îy¢ - 2y - 2x = 0; y(0) =1. |
|
Розв’язування В кожному рівнянні перейдемо у простір зображень. Отримаємо систему алгебраїчних рівнянь
ìpX ( p) + y( p) =1;
íî- 2X ( p) + ( p - 2)Y ( p) =1.
Розв’язком цієї системи будуть функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
X ( p) = |
|
|
p − 3 |
|
|
; Y ( p) = |
|
|
p + 2 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
p2 - 2 p + 2 |
|
|
p2 - 2 p + 2 |
|
|
|
|
||||||||||
Щоб знайти оригінали, виділимо у квадратному тричлені |
p2 - 2 p + 2 |
повний |
||||||||||||||||||
квадрат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 - 2 p + 2 = p2 - 2 p + 1 + 1 = ( p - 1)2 + 1. |
|
|
|
|
||||||||||||||
Тоді X ( p) = |
p − 1 |
|
- |
2 |
1 |
|
|
; Y ( p) |
= |
p − 1 |
|
|
+ 3 |
1 |
|
; |
|
|||
( p -1) |
2 |
|
( p -1)2 |
|
|
( p -1)2 |
|
( p -1)2 |
|
|
||||||||||
|
+ 1 |
|
|
+ 1 |
|
|
+ 1 |
+ 1 |
|
|||||||||||
Відповіддю будуть функції-оригінали, які відповідають зображенням X ( p) |
і Y ( p). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ìïx(t)
í
ïîy(t)
=et cos t - 2et sin t,
=et cos t + 3et sin t.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
1 Методами операційного числення розв’язати диференціальні рівняння з початковими умовами.
4.1 x¢ + 3x = et , x(0) = 1;
4.3x′′ − x′ + x = t sin 2t, x(0) = 1, x′(0) = 0;
4.5 x′′ + x′ = cos t, x(0) = 2, x′(0) = 0;
4.2 2x′ − x = sin 2t, x(0) = 2;
4.4 x′′ + 3x′ + 2x = 4, x(0) = 2, x′(0) = 0;
4.6 x′′ + x′ = 2sin t, x(0) = 1, x′(0) = 1.
2 Операційними методами розв’язати системи диференціальних рівнянь з початковими умовами.
4.7
4.9
4.11
ìx′ + y′ = 0,
íîx¢ - 2y¢ + x = 0, x(0) =1, y(0) = -1.
ìx′ - x - 2y = t, íîy¢ - 2x - y = t, x(0) = 2, y(0) = 4.
ìx′ - 2x - 4y = cos t,
íîy¢ + x + 2y = sin t, x(0) = 0, y(0) = 0.
|
ìx′ |
+ y = 0, |
|
|
|
|
||||
|
í |
¢ + x = 0, |
|
|
|
|
||||
4.8 |
îy |
|
|
|
|
|||||
|
x(0) =1, |
|
y(0) = -1. |
|||||||
|
ì |
¢ |
- x - |
2y = 2e |
t |
, |
||||
|
ïx |
|
||||||||
4.10 |
í |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
- 2x |
- y = 0, |
|
|
||||||
|
îy |
|
|
|
||||||
|
x(0) =1, |
|
y(0) =1. |
|
||||||
|
ì |
¢ |
+ y¢ - y = e |
t |
, |
|
|
|||
|
ïx |
|
|
|
||||||
4.12 |
í |
|
¢ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
ï |
|
+ y |
+ 2y = cos t, |
|||||||
|
î2x |
|
|
|||||||
|
x(0) = 0, |
|
y(0) = 0. |
|||||||
5 ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ “ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ”
I.Методом операційного числення розв’язати задачу Коші:
5.1 |
x′′ + 4x′ + 3x =1, |
5.2 |
x′′ − 4x = t − 1, |
||||
x(0) |
¢ |
= 2. |
x(0) |
¢ |
= 0. |
||
|
= 3, x (0) |
|
= 0, x (0) |
||||
22
x′′ + 5x′ + 6x = 6, 5.3 x(0) =1, x′(0) = 0.
5.5x′′ + 3x′ + 2x = 2t 2 + 1, x(0) = 4, x′(0) = −8.
5.7 |
x′′ − 5x′ + 4x = 4, |
x(0) = 0, x′(0) = 2. |
|
5.9 |
x′′ + 9x = cos 3t, |
x(0) = 0, x′(0) = 0. |
5.11x′′ − 3x′ + 2x =12e3t , x(0) = 2, x′(0) = 6.
2x′′ + 5x = 29 cos t, 5.13 x(0) = −1, x′(0) = 0.
5.15x′′ − 2x′ = e3t , x(0) = 0, x′(0) = 0.
x′′ + x = sht,
5.17 x(0) = 2, x′(0) = 1.
2x′′ − x′ = sin 3t, 5.19. x(0) = 2, x′(0) = 1.
5.21x′ + x = e−t , x(0) = 1.
x′ + 2x = sin t, 5.23 x(0) = 0.
5.25x′ − 3x = e2t , x(0) = 0.
5.4x′′ + x = 2et , x(0) =1, x′(0) = 2.
5.6 |
x′′ + x = cos t, |
x(0) = 0, x′(0) = 0. |
|
5.8 |
x′′ − 2x′ + 5x = 5t − 2, |
x(0) = 0, x′(0) = 0. |
5.10x′′ − x′ = tet , x(0) = 0, x′(0) = 0.
5.12x′′ + x′ + x = 7e2t , x(0) =1, x′(0) = 4.
x′′ − x′ = cos 3t, 5.14 x(0) = 1, x′(0) = 1.
5.16x′′ + 2x′ − 3x = e−t , x(0) = 0, x′(0) = 1.
x′′ − 2x′ + 5x =1 − t, 5.18 x(0) = 0, x′(0) = 0.
5.20x′′ + x′ + x = tet , x(0) = 0, x′(0) = 0.
x′ − x = 1, 5.22 x(0) = −1.
x′′ = 1,
5.24 x(0) = 0, x′(0) = 1.
x′ + 3x = cost, 5.26 x(0) = 0.
23
5.27 |
2x′ + 5x = t, |
|
|
|
|
|
3x |
¢ |
- 8x = t |
2 |
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x(0) |
=1. |
|
|
|
|
|
5.28 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
¢ |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
5.29 |
x |
+ 2x = e |
|
sin t, |
|
|
5.30 |
x |
- x = e sht, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x(0) |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
x(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
¢¢ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
2 |
5.31 |
x |
- |
2x = 2(t |
- 3t), |
|
5.32 |
x |
+ x |
= 4sin t, |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x(0) |
|
¢ |
|
= 0. |
|
|
|
x(0) = |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|||||||
|
= x (0) |
|
|
|
0, x (0) = -1. |
||||||||||||||||||
|
|
¢¢ |
|
¢ |
|
|
|
|
2 |
|
|
x′′ + x = t cos 2t, |
|||||||||||
|
x |
|
+ |
2x + x = |
2 cos |
t, |
5.34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.33 |
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
= 0. |
|||||||||||
|
x(0) |
|
¢ |
|
= 0. |
|
|
|
x(0) = x (0) |
||||||||||||||
|
= x (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.35 |
x′′ - |
2x′ + x = t - sin t, |
5.36 |
x′′ + 4x = 2 cos t × cos 3t, |
|||||||||||||||||||
x(0) |
|
¢ |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
= 0. |
|||||||
|
= x (0) |
|
|
|
x(0) = x (0) |
||||||||||||||||||
II.Методом операційного числення розв’язати системи диференціальних рівнянь, які задовольняють заданим початковим умовам
ìx′ - 3x - y = 0, 5.37 íîy¢ + 5x + 3y = 2, x(0) = 2, y(0) = 0.
ìx¢ + x - 3y =1, 5.39 íîy¢ - x - y = 0, x(0) =1, y(0) = 2.
ìx¢ - x - 4y = 0, 5.41 íîy¢ - 2x + y = 9, x(0) =1, y(0) = 0.
ìx¢ - 3x - y = 0, 5.43 íîy¢ + 5x + 3y = 2, x(0) = 2, y(0) = 0.
5.38
5.40
5.42
5.44
ìx′ + x + 2y =1,
ï
íïy¢ + 3 x - y = 0, î 2
x(0) =1, y(0) = 0.
ìx′ - 3x - 2y = 0,
ï
íïy¢ - 5 x + y = 2, î 2
x(0) = 0, y(0) =1.
ìx¢ - 2x - 8y =1, íîy¢ - 3x - 4y = 0, x(0) = 2, y(0) =1.
ìx¢ - x - y = 0, íîy¢ - 4x - y =1, x(0) =1, y(0) = 0.
24
ìx′ + 2x - 6y =1,
5.45 íîy¢ - 2x = 2, x(0) = 0, y(0) =1.
ìx′ + 3x - y = 0, 5.47 íîy¢ + x + 5y = 0, x(0) =1, y(0) =1.
ì3x′ + 2x + y′ =1,
5.49íîx¢ + 4y¢ + 3y = 0, x(0) = 0, y(0) = 0.
ìx′ + 4x - y = 0,
5.51íîy¢ + y + 2x = 0, x(0) = 2, y(0) = 3.
ìx′ + 2y + 5x = 0,
íîy¢ + 7 y - x = 0,5.53
x(0) = 0, y(0) =1.
ìx′ - x + y = 0, 5.55 íîy¢ - x - y = 0,
x(0) =1, y(0) = 0.
ìx′ + y = 0, 5.57 íîy¢ + x = 0,
x(0) =1, y(0) = -1.
ìy′ - x - y = 0,
5.59íîy¢ - x¢ = 3,
x(0) = 0, y(0) = 0.
|
ìx′ - x + 2y =1, |
|
í |
5.46 |
îy¢ + 3x = 0, |
|
x(0) = 0, y(0) =1. |
|
ìx′ + y′ = 0, |
|
í |
5.48 |
îx¢ - 2y¢ + x = 0, |
|
x(0) =1, y(0) = -1. |
|
ìx′ + 7x - y = 0, |
|
í |
5.50 |
îy¢ + 2x + 5y = 0, |
|
x(0) =1, y(0) =1. |
|
ìx′ - x + 2y = 3, |
|
í |
5.52 |
î3x¢ + y¢ - 4x + 2y = 0, |
|
x(0) = 0, y(0) = 0. |
|
ìx′ + x - 2y = 0, |
|
í |
5.54 |
îy¢ + x + 4y = 0, |
|
x(0) =1, y(0) =1. |
|
ìx′ + 2x + y = 0, |
|
í |
5.56 |
îy¢ - 4x - 2y =1, |
|
x(0) = 0, y(0) = 0. |
|
ìx′ + y = 0, |
|
í |
5.58 |
îy¢ - 2x + 2y = 0, |
|
x(0) = 0, y(0) = 0. |
|
ìx′ - y = 0, |
|
í |
5.60 |
îy¢ - x = 0, |
x(0) =1, y(0) =1.
25
ìx′ - y = 0, 5.61 íî2x¢ + y¢ = 4,
x(0) = 0, y(0) = 0.
ì2x′ + y = 0,
5.63 íîy¢ - x = 0, x(0) =1, y(0) =1.
=0,
5.65íîy¢ - 2x = 0, x(0) = 0, y(0) = 0.yì2x′ -
|
ì |
|
|
|
|
|
t |
, |
|
|
|
|
ïx¢ + x - y = e |
|
|
|
|
||||||
|
í |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
5.67 |
ï |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
||
|
- x + y = e , |
|
|
|
|||||||
|
îy |
|
|
|
|
|
|||||
|
x(0) =1, y(0) =1. |
|
|
||||||||
|
ì |
¢ |
- x + y = |
3 |
|
|
t |
2 |
, |
||
|
ïx |
|
2 |
|
|||||||
|
í |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|||
5.69 |
ï |
|
+ 4x + 2y = 4t + 1, |
||||||||
|
îy |
|
|
|
|||||||
x(0) = 0, y(0) = 0.
ìx¢ - y¢ - 2x + 2y =1 - 2t,
5.71íîx¢¢ + 2y¢ + x = 0, x(0) = y(0) = x¢(0) = 0.
ìx′ + y′ = 0,
5.62 íî2x - y¢ = t, x(0) =1, y(0) =1.
ìx′ - 3y = 0,
5.64 íîy¢ + x = 0,
x(0) = 0, y(0) = 0.
ìx′ - y′ = 0,
5.66 íîx¢ + 2y =1, x(0) =1, y(0) =1.
ìx′ |
+ x - 3y = 0, |
|
ï |
|
|
í |
¢ |
3t |
5.68 ï |
- x - y = e , |
|
îy |
|
|
x(0) =1, y(0) =1.
ìx¢ - 2x - 4y = cos t,
5.70íîy¢ + x + 2y = sin t, x(0) = 0, y(0) = 0.
ì |
¢¢ |
- y¢ |
= e |
t |
, |
|
|
|
ïx |
|
|
|
|||||
í |
¢¢ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
5.72 ï |
+ x |
- y = 0, |
|
|
||||
îy |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
¢ |
¢ |
= 0. |
x(0) =1, y(0) = -1, x (0) |
= y (0) |
|||||||
Зауваження Номери 5.21-5.30 та 5.27-5.66 даного параграфу рекомендується пропонувати студентам, які мають більш слабку математичну підготовку. Номери 5.31-5.36 та 5.67-5.72 мають більш високий рівень складності.
ЛІТЕРАТУРА
1Высшая математика. Сборник задач/ Под общ. ред. П.Ф. Овчинникова.- К.: Выщ. школа, 1991
2Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: Учеб. Пособие для студентов ВТУЗов. В 2-х ч. Ч. II.-М.:Высш. шк., 1986.
26
3Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.−М.: Наука, 1981.
4Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. Підручник. − Д.:”Видавництво Сталкер”, 2003.−496с.
5Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.Т.2.−М.:Наука, 1985.
6Вища математика. Методичны вказівки до вивчення розділу “Операційне числення” для студентів II курсу факультету ТОСУ/ Укл. Т.Г. Войцеховська, В.М.
Шевцов. − К.: КТІЛП, 1993. Рос. мовою.
7 Методические указания к элементам операционного исчисления для студентов II курса механического факультета спец. 0669, 0639/ Сост. В.М. Урбанский, В.Е. Клепко.−К.:КТИЛП, 1988
27