Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет технологий и дизайна

Предмет:

Высшая математика

Файл:

2 курс вища математика / Операційне числення методичка

.pdf

Скачиваний:

134

Добавлен:

05.02.2016

Размер:

215.41 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Міністерство освіти і науки України Київський національний університет технологій та дизайну

ВИЩА МАТЕМАТИКА: ОСНОВИ ОПЕРАЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДЛЯ СТУДЕНТІВ II-ГО КУРСУ ФАКУЛЬТЕТУ ТОСУ

КИЇВ КНУТД − 2005

Вища математика: Основи операційного числення: методичні вказівки для студентів ІІ курсу факультету ТОСУ / Упор. М. О. Харитонова, Т. Г. Войцеховська, І. Д. Євдокименко та ін., К.:КНУТД.2005-27с.:Укр. мов.

Упорядники:

М. О. Харитонова, доц., Т. Г. Войцеховська, доц.,

І. Д. Євдокименко, ст. викл., О. Б. Нестеренко, ас.

Відповідальний за випуск проф. П. В. Задерей.

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики 31.10.2005 р., протокол № 3.

	ЗМІСТ
Передмова		3
1	Основні теоретичні відомості	4
2	Знаходження зображень для даних оригіналів	9
3	Знаходження оригіналів за відомими зображеннями.	13
4 Застосування операційного числення до розв’язування диференціальних		16
рівнянь та їх систем
5	Індивідуальні завдання до розділу “Операційне числення”	22
Література		26

ПЕРЕДМОВА

Математичні методи знаходять все більш широке застосування у різних областях науки і техніки. Володіння ними є невід’ємною частиною сучасної інженерної освіти.

У зв’язку з підвищенням інтенсивності навчання підсилюється значення самостійної та індивідуальної роботи студентів, що обумовило структуру та склад даних методичних вказівок.

Метою методичних вказівок є допомога студентам факультету технологічного обладнання та систем управління під час опанування основними методами розв’язання задач з розділу вищої математики “Операційне числення”. У методичних вказівках наведені стислі теоретичні відомості з питань:

∙перетворення Лапласа та його основні властивості;

∙розв’язання диференціальних рівнянь та їх систем операційним методом;

∙приклади розв’язання найбільш характерних задач;

∙задачі для самостійної роботи;

∙список рекомендованої літератури.

∙

Методичні вказівки складені у відповідності з програмою вищої математики для інженерно-технічних спеціальностей і можуть бути використані для роботи зі студентами стаціонару, заочної та дистанційної форм навчання.

1 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Означення 1 Оригіналом називається будь-яка комплекснозначна функція f (t)

дійсної змінної t ,	яка задовольняє умовам:
1 якщо t < 0 , то	f (t) º 0 ;

2якщо t ³ 0 , то функція f (t) на довільному скінченому інтервалі осі t має не більш ніж скінчене число точок розриву першого роду;

3f (t) зростає, коли t → ∞ , не швидше показникової функції, тобто існують такі

сталі M > 0 та S > 0 , що для всіх t :

f (t)		£ MeSt .	(1)

Найменше значення S0 всіх чисел S , для яких справедлива нерівність (1), називається показником росту функції f (t) .

Означення 2 Зображенням функції-оригіналу f (t) називається функція F( p) комплексної змінної p , яка визначається інтегралом Лапласа:

∞
F( p) = ò e− pt f (t)dt .	(2)
0

Означення 3 Перетворення, що визначається формулою (2), та ставить у відповідність функції f (t) визначену функцію F( p) , яка є аналітичною у

півплощині Re p > S0 , називається перетворенням Лапласа.

Відповідність між оригіналом f (t) та зображенням F( p) символічно позначається таким чином:

f (t). =. F( p) або F( p). =. f (t) .

Перетворення Лапласа єдине в тому сенсі, що дві функції f1(t) та f2 (t), які мають

однакові перетворення Лапласа, співпадають в усіх точках де вони одночасно неперервні.

ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА ТА ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ОПЕРАЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ

1 Властивість лінійності

Якщо fi (t). =. Fi ( p), i =1,2,..., n , то

n =.

å ci fi (t).

i=1

å ci Fi ( p),

i=1

де ci - задані сталі числа (дійсні або комплексні), тобто лінійній комбінації оригіналів відповідає лінійна комбінація зображень (та навпаки).

1 Теорема подібності (зміна масштабу аргументу оригіналу)

Якщо a > 0 та f (t). =.

F( p), то

p ö

f (at). =

Fç

÷.

è a ø

2 Теорема зсуву зображення

Нехай

f (t). =. F( p) .

Тоді для

будь-якого значення p0

e− p0t f (t). =. F(p + p0 ).

3 Теорема запізнення оригіналу

Якщо

t0 > 0 ,

то з того, що

f (t). =. F( p)

випливає

f (t - t0 ). =. e−t0 p × F(p).

4 Теорема випередження оригіналу

Якщо

t0 > 0 ,

то з того,

що

f (t). =. F( p)

випливає

f (t + t0 ). =. e−t0 p êF(p) - ò e

− pt × f (t)dtú .

5 Диференціювання зображення

Нехай

f (t). =.

F( p) .

Тоді:

a) - tf (t).=. F ¢( p);

b) (-1)n t n f (t).=. F (n) ( p).

6 Інтегрування зображення

Нехай f (t). =. F( p) та дріб f t(t) задовольняє умовам 1-3 Означення 1. Тоді:

f t(t). =. ∞ò F(q)dq

7 Диференціювання оригіналу

Нехай f (t) неперервно-диференційована на [0; ∞) і f ′(t) задовольняє умовам 1-3 означення оригіналу. Тоді:

а) якщо	f (t).=. F( p) , то f ¢(t). =. pF( p) - f (0), зокрема, якщо f (0) = 0 , то
f ¢(t). =.	pF( p) , тобто диференціюванню функції відповідає добуток

зображення і змінної p ;

б) якщо f (n) (t) існує та задовольняє умовам 1-3 означення оригіналу, то з f (t). =. F( p) випливає

(n)

(t). =

F( p) - (p

n−1

f (0) + p

n−2

+ ... + pf

(n−2)

(0)

(n−1)

(0)); (3)

(0)

зокрема, якщо: f (0) = f

= ... =

(n−2)

(0)

= f

(n−1)

(0)

то

(0)

f (t). =. F (n) ( p) .

8 Інтегрування оригіналу

Нехай f (t) неперервна на [0; ∞) , задовольняє умовам 1-3 означення оригіналу

та	f (t). =. F( p) . Тоді :
	t	1
	ò f (t)dt. =.	1	F( p), Re p > S0 .,
	ò f (t)dt. =.		F( p), Re p > S0 .,
	0	p
тобто інтегралу від оригінала відповідає частка від ділення зображення на p .
Означення 4 Згорткою неперервних функцій f1(t) і				f2 (t), 0 < t < ∞ , називається
функція	f (t) , яка визначається рівністю
	t
	f (t) = ò f1(t) f2 (t - t)dt .			(4)
	0

Позначається:

f (t) = f1(t) f2 (t) ,

де " " позначає операцію утворення згортки.

1 Теорема про згортку (теорема множення (добутку) зображень)

Якщо f1(t) і					f2 (t) задовольняють умовам 1-3 Означення 1, то зображенням їх
				згортки є добуток зображень співмножників, тобто якщо
									f		1			(t)			=.	F ( p) , f						2	(t)	=.	F ( p), то
											1					.			1					2	.		2
									f	1			(t) * f					2	(t)			=. F ( p) × F ( p).
										1								2			.			1			2
2 Теорема Дюамеля
Якщо функції					f1(t) і			f2 (t), мають неперервні похідні на [0; ∞) та ,
f	1	(t)	=.	F ( p) , f		2	(t)	=. F ( p), то
	1	.		1		2	.				2
									d			[f			1	(t) * f				2	(t)] =.				pF ( p) × F ( p) .
												[f				(t) * f					(t)] =.				pF ( p) × F ( p) .
									dt														.			1	2
3 Інтеграл Дюамеля
Якщо функція					f (t) неперервна на [0; ∞) , функція ϕ(t) неперервно-
диференційована на [0; ∞) та f (t). =.																							F( p) , j(t). =. F( p), то

pF( p) × F( p). =	.	t	¢	(5)

		f (t) × j(0) + ò f (t)j (t - t)dt.
		0

Вираз (5) називається інтегралом Дюамеля.

4 Перша теорема розкладу

Нехай F( p) - аналітична функція на розширеній комплексній площині., F(∞) = 0 , та ряд Лорана цієї функції має вигляд:

= ∞ Ck

F( p) å .

k=1pk

Тоді оригінал цього зображення задається формулою:

ì0, t > 0,
ï	∞				n		(6)
f (t) = í				t
ï	å	C	n+1			,	t > 0.
				n!
în=0

5 Друга теорема розкладу

Якщо зображення F( p) є однозначною функцією і має лише скінчену кількість особливих точок p1, p2 ,..., pn , які лежать у скінченій частині площини, то

	f (t) =				n						(7)
					å res(e pt × F( p))
				k=1 pk
І Якщо, зокрема, F( p) =		Pm ( p)			, де P ( p),Q				n	( p) - многочлени степенів,

		Qn ( p)				m

відповідно, m і n ( n > m ),			p1, p2 ,..., pr				- корені знаменника Qn ( p) з
кратностями, відповідно, l1, l2 ,..., lr						(l1 + l2 + ... + lr = n), то
r			1			d	lk −1	( p - pk )lk × e pt × F( p)
f (t) = å					lim						(8)

k=1(lk			-1)! p→ pk dplk −1

ІІ Якщо всі корені знаменника Qn ( p) є простими, тобто є полюсами I порядку для функції F( p) , то

	n	P	( p	k	)		p	t
f (t) =	å	m		k		× e	k		(9)
f (t) =	å	¢	( pk )			× e	k		(9)
		¢
	k=1Qn

Таблиця зображень деяких елементарних функцій.

Оригінал f (t), t > 0

Зображення F( p)

pn+1

αt

p − α

sin βt

cosβt

p2 + β2

shβt

p2 + β2

chβt

p2 − β2

αt

sin βt

( p − α)2 + β2

αt

cosβt

p − α

( p − α)2 + β2

t sin βt

2 pβ

t cosβt

( p2 + β2 )2

− β

( p2 + β2 )2

eαt

( p − α)n+1

αt

shβt

( p − α)2 − β2

αt

chβt

p − α

( p − α)2 − β2

2 ЗНАХОДЖЕННЯ ЗОБРАЖЕНЬ ДЛЯ ДАНИХ ОРИГІНАЛІВ

Знаходження зображень для заданих оригіналів здійснюється, спираючись на означення зображення, основні властивості (теореми) перетворення Лапласа та на таблицю зображень основних елементарних функцій.

Приклад 1 Знайти зображення для функції-оригіналу f (t) = 1.

Розв’язування

За означенням ,

∞

− pt

× f (t)dt . Тому :

зображення F( p) = ò e

∞

lim (e− pb - e0 )=

F( p) =

ò e− pt ×1dt = lim ç

e pt

= -

b→∞ç

p b→∞

Отже: F( p) =

або 1 =.

Приклад 2

Знайти зображення для функції-оригіналу f (t) = t .

Розв’язування Згідно з означенням, перетворення Лапласа

дорівнює:

∞

− pt × t dt = lim

∞

− pt dt =

éu = t

du = dt

F( p) = ò e

ò t × e

= e

− pt dt

v = -(1/ p) × e

ú =

b→∞

êdv

− pt ú

− pt

b − pt

− pb

b − pt

- (1 p) × t × e

+ (1

p)ò e

= - (1 p) lim be

+ (1

p) lim

ò e dt =

= lim ç

dt ÷

b→∞è

b→∞

[Першу границю знайдемо за правилом Лопіталя]

= - (1 p) lim

- (1

p2 ) lim (e− pb - e0 ) =

b→∞ p × e pb

b→∞

Отже: t.=.

Приклад 3 Знайти зображення для функції-оригіналу

f (t) = sin bt (формула 5

таблиці зображень).

eibt

−ibt

Розв’язування За формулою Ейлера sin bt =

- e

ibt

−ibt

. Оскільки

eat . =.

(формула 4), то eibt . =.

, e−ibt . =

. За властивістю лінійності

p - a

p - ib

p + ib

зображень

p + ib − p + ib

sin bt.=.

2i p - ib

2i p + ib

2 + b2

p2 + b2

Отже: sin bt.=.

p2 + b2

Приклад 4 Знайти зображення для функції-оригіналу

f (t) = cos2 5t .

Розв’язування За формулами тригонометрії представимо функцію

f (t) , понизивши

степінь, як

f (t) =

1 + cos10t

cos10t .

силу

властивості

лінійності

та

за

формулами

таблиць

маємо:

2 5t

+ 100 + p

+ 50

cos

2 p

+ 10

2 p( p

+ 100)

p( p

+ 100)

è p

+100 ø

Отже: cos2 5t.=.

p2 + 50

p( p2 + 100)

Приклад 5 Знайти зображення для функції-оригіналу

f (t) = sin 3t × cos 2t .

Розв’язування

Перетворимо

добуток

тригонометричних

функцій

у суму і

скористаємося властивістю лінійності та формулою 5. таблиць.

sin 3t × cos 2t =

(sin t + sin 5t). =.

2 + 25

p2 + 1

2 + 25 + 5 p

2 + 5

3p2 + 15

2( p2 + 1)( p2

+ 25)

( p2

+ 1)( p2

+ 25)

Отже: sin 3t × cos 2t.=.

3p2 + 15

( p2 + 1)( p2 + 25)

Приклад 6 Знайти зображення для функції-оригіналу

f (t) = cos4 t .

Розв’язування Маємо:

cos4 t

= 83 +

Тоді :

æ	1 + cos 2t ö2			1	(1 + 2 cos 2t + cos	2	2t) =	1		1	cos 2t +	1 1 + cos 4t
= ç		÷	=						+					=
	2			4				4		2		4	2
è		ø

cos 2t +

cos 4t.

cos4 t.=.

1 p

8 p

2 p2 + 4

8 p2 + 16

3( p2

+ 4)( p2

+ 16) + 4 p2 ( p2

+ 16) + p2 ( p2 + 4)

8 p( p2 + 4)( p2

+ 16)

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2 курс вища математика

#
05.02.201674 б11Read me.txt
#
05.02.2016261.13 Кб19Контрольные работы 3 семестр Операц.числ.ФКЗ .pdf
#
05.02.2016215.41 Кб134Операційне числення методичка.pdf
#
05.02.2016610.88 Кб22Функ компл змінної методичка .pdf