2 курс вища математика / Функ компл змінної методичка

де a та

b – дійсні числа, а символ i

– уявна одиниця, яка визначається

умовою:

i2 = −1. При цьому число

a називається дійсною частиною ком-

плексного числа z і позначається:

a = Re z , а b – уявною частиною z ,

b = Im z (від французьких слів: гееl – дійсний, іmаgіпаіге – уявний).

Вираз, що стоїть справа у формулі

[1], називається алгебраїчною фор-

мою запису комплексного числа.

z = a - b ×i,

Два комплексні числа

z = a + b ×i

і

які відрізняються

лише знаком уявної частини, називаються спряженими.

Два комплексні числа

z1 = a1

+ b1 ×i

і

z2 = a2 + b2 ×i

вважаються рів-

змінної z , вісь Ox – дійсною віссю,

а Oy – уявною.

Комплексне число z = a + b ×i

при b = 0 збігається з дійсним чис-

4)

z1

=

z1 × z2

=

a1a2 + b1b2

+

a2b1

- a1b2

×i .

z

2

z

2

× z

2

a

2 + b 2

a 2

+ b 2

2

2

2

2

Приклад 1.1

Обчислити:

(1+ 5i)×(2 - 3i)-15 + 2i .

↓. (1+ 5i)×(2 - 3i)-15 + 2i =

4 + i

2 - 3i +10i +15 -15 + 2i

=

2 + 9i

=

4 + i

4 + i

4 + i

(2 + 9i)×(4 - i)

8 - 2i + 36i + 9

17 + 34i

=1+ 2i .

1+ 2i .

= (4 + i)×(4 - i) =

=

↑.

Відп.:

16 +1

17

Піднесення числа

z = a + b ×i

до цілого натурального степеня вико-

нується за формулою бінома Ньютона з урахуванням того, що:

i2

= -1, i3

= -i,

i4 =1,

i5

= i , ... .

Полярні координати точки M (x; y) на комплексній площині назива-

ються модулем і аргументом комплексного числа

z = x + y ×i

і позначають-

ся: ρ =

z

=

ϕ = Argz .

x2 + y2

,

Оскільки

x = ρ ×cosϕ ,

y = ρ ×sinϕ

(див. рисунок), то з формули [1] маємо:

y

M

z = ρ ×(cosϕ + i ×sinϕ)

[2].

Вираз, який стоїть справа у формулі [2],

ρ

називається тригонометричною формою

x

комплексного числа

z = x + y ×i .

Î

ϕ

= ρ комплексного

Модуль

z

z числа визначається однозначно,

а аргумент

ϕ – з точністю до 2πk :

Argz = arg z + 2πk ,

k Î Z .

Тут під Argz розуміють загальне

ì

y

значення аргументу; на відміну від

ïarctg

,

x > 0;

x

нього, arg z

– головне значення ар-

ï

y

гументу, воно знаходиться на про-

ïπ + arctg

,

x < 0, y > 0;

x

міжку (-π ;π ] і відраховується від

ï

arg z =

ï

y

додатного напряму осі Ox проти

í-π + arctg

,

x < 0, y < 0;

годинникової стрілки.

ï

x

Якщо z = 0,

ïπ

, x

=

0, y

>

0;

то вважають, що

z

= 0,

ï 2

ï

π

,

x = 0, y

< 0.

а

arg z – невизначений.

ï-

2

î

Зокрема, якщо всі

n множників рівні, то справедлива формула Муавра::

zn = (ρ ×(cosϕ + i ×sinϕ))n = ρ n ×(cos nϕ + i ×sin nϕ) [M].

При діленні комплексних чисел маємо:

z1

=

ρ1

(cos(ϕ -ϕ

) + i ×sin(ϕ -ϕ

)) [M.1].

z2

1

2

1

2

ρ2

При добуванні кореня n -го степеня з комплексного числа, записаного

в тригонометричній формі

[2] користуються наступною формулою (наслі-

док з формули Муавра):

n

æ

ϕ + 2πk

+ i ×sin

ϕ + 2πk ö

[M.2],

z = n ρ ×çcos

n

n

÷, k = 0,1, 2, ..., n −1

è

ø

Надаючи k значень

0,1, 2, ..., n −1,

дістанемо

n

різних значень кореня.

Для інших значень

k

аргументи відрізнятимуться від знайдених на число,

кратне 2π , тому значення кореня збігатимуться зі вже знайденими.

Приклад 1.2 Знайти всі значення кореня:

4

.

-1

↓. Оскільки

z = −1, то

ρ =1, ϕ = π

і згідно формули [M]

отримаємо:

æ

π + 2π × 0

π + 2π × 0 ö

π

π

k = 0 : z1

= 4

+ i × sin

+ i × sin

2

+ i

2

1 × çcos

÷ = cos

=

×

;

4

4

4

4

2

2

è

ø

æ

π + 2π ×1

π + 2π ×1

ö

3π

3π

k =1: z2

= 4

+ i sin

+ isin

2

+ i

2

1 × çcos

÷ = cos

= -

×

;

4

4

4

4

2

2

è

ø

æ

π + 2π × 2

π + 2π × 2 ö

5π

5π

k = 2 : z3

= 4

+ isin

+ isin

2

- i

2

1 × çcos

÷ = cos

= -

;

4

4

4

4

2

2

è

ø

æ

π + 2π × 3

π + 2π × 3 ö

7π

7π

k = 3: z4

= 4

+ i sin

+ isin

2

- i

2

1 × çcos

÷ = cos

=

4

4

4

4

2

2

è

ø

Відп.:

2

+ i ×

2

,

-

2

+ i ×

2

,

-

2

- i ×

2

,

2

= i ×

2

.

↑.

2

2

2

2

2

2

2

2

y

Як видно з рисунку, всі чотири корені знахо-

z2

z1

дяться на колі радіуса

4

ρ

з центром у по-

чатку координат і є вершинами правильного

x

чотирикутника. Ця властивість справедлива

z3

z4

для всіх коренів

n -го степеня (n N ) з ком-

Приклад 1.3 Знайти множину точок z

комплексної площини

(z), що за-

довольняють співвідношенню: Re(z2 - z)= 0

↓. Оскільки

z = x + i × y ,

z = x - i × y ,

z2 = (x + iy)2 = x2 - y2

+ 2ixy , то:

Re(z2 -

)= Re(x2 - y2 + 2xyi - x + yi)= x2 - y2 - x = 0;

z

æ

1

ö

2

2

1

y

тобто: ç x -

÷

- y

=

,

2

4

è

ø

æ

1

ö2

2

звідки: 4 ×ç x -

÷

- 4y

=1 –

2

A

x

è

ø

O

рівняння рівносторонньої гіперболи з

Ñ

æ 1

ö

центром в точці

Ñèç

2

;0ø÷

і вершина-

ми в точках: O(0;0) і A(1;0).

↑.

Відп.: гіпербола

4(x - 0,5)2 - 4y2 =1.

Приклад 1.4 Знайти множину точок z

комплексної площини (z), що задо-

вольняють умові:

z - i

+

z + i

£ 4

↓. Враховуючи, що z = x + yi ,

z − i = x + (y −1)i, z + i = x + (y +1)i ,

z - i

,

z + i

=

,

а також:

=

x2 + (y -1)2

x2 + (y +1)2

Відп.: внутрішня частина еліпса

x2

+

y2

=1 разом з межею.

3

4

А з формули Муавра відомо, що: z5 = cos5x + i ×sin 5x

[**].

Порівнявши дійсну і уявну складові правих частин в рівностях

[*]

і [**],

отримаємо:

sin 5x = 5cos4 x ×sin x -10cos2

x ×sin3 x + sin5 x

і одночасно:

cos5x = cos5 x -10cos3 x ×sin2

x + 5cos x ×sin4 x .

↑.

З формули Ейлера: cosϕ + i ×sinϕ = ei×ϕ

(яку ми доведемо пізніше)

i×ϕ

i×ϕ

i×çϕ +ϕ

÷

Множення: z × z

= ρ

×e

1

× ρ

×e

2

= ρ

× ρ

æ

1

2

ö

1.

2

1

2

1

2

×e è

ø .

1

i×ϕ

i×çϕ -ϕ

÷

z1

ρ1 ×e

1

ρ1

æ

ö

2.

Ділення:

=

=

×e è 1

2

ø .

i×ϕ2

z2

ρ2

×e