Тема 2. Дії над матрицями

2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МАТРИЦЬ. ДІЇ НАД МАТРИЦЯМИ

Дії над векторами виконуються аналогічно до дій над матрицями розмірності 1 n . Тому не будемо окремо розглядати дії над векторами.

2.1. Рівність матриць

2.2. Транспонування матриці

Транспонуванням матриці називають заміну місцями рядків на стовпці

Означення. Симетричною називають квадратну матрицю, яка дорівнює своїй транспонованій матриці A A'.

Зауваження. Одинична матриця Е є симетричною, оскільки Е Е'.

Приклад 1

Транспонувати матрицю А.

Розв’язання

Поміняємо місцями рядки та стовпці у матриці А:

1

При транспортуванні змінилася розмірність матриці.

2.3. Множення матриці на число

Добутком матриці А на число k є матриця, у якої кожен з її елементів

Властивості дії множення матриці на число

1.k p A k p A , де k, p – дійсні числа.

2.Якщо k 0, то k A O ..

Приклад 2

Помножити матрицю А на число (–2).

Розв’язання

Приклад 3

Мале підприємство виготовляє жіноче, чоловіче та дитяче взуття, працюючи у дві зміни. Записати у вигляді матриці А дані таблиці 1 про кількість взуття, яке підприємство виготовляє за один робочий день. Записати матрицю В, у якій розмістити дані про кількість взуття кожного виду, що виготовляється за тиждень (5 робочих днів). Що означає елемент b23?

2

Елемент b23 115 відповідає кількості дитячого взуття, виготовленого у

елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць, що додаються,

Зауваження. Додавати можна матриці однакової розмірності. Одержана матриця має ту саму розмірність.

Властивості дії додавання матриць

1.A B B A.

2.A B C A B C .

3.k A B k A k B , де k – дійсне число.

4.A B ' A' B'.

5.A О A.

2.5. Віднімання матриць

Приклад 5

Два малих підприємства виготовляють чоловічий, жіночий та дитячий одяг і працюють у дві зміни. Дані про обсяг виготовленої продукції за один робочий день занесені до таблиці 2. Скласти дві відповідні матриці, в яких записати дані про обсяг виготовленої продукції кожним підприємством за один робочий день. Записати матрицю, яка містить дані про обсяг виготовленої продукції обома підприємствами разом за один робочий день.

3

Таблиця 2.

За І -у зміну обидва підприємства разом виготовили 85 одиниць чоловічого, 83 одиниці жіночого та 50 одиниць дитячого одягу. За ІІ -у зміну вони разом виготовили 69 одиниць чоловічого, 92 одиниці жіночого та 42 одиниці дитячого одягу.

2.6. Скалярний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком векторів a b , які мають однакову розмірність, називають суму добутків відповідних елементів цих векторів:

i1

Властивість скалярного добутку векторів: a b b a (комутативність).

Приклад 6

Знайти скалярний добуток векторів a 1; 0; 3 і b 2; 4; 5 .

Розв’язання

Знайдемо скалярний добуток векторів:

a b 1 2 0 4 3 5 2 0 15 13 .

4

Приклад 7

До таблиці 3 занесені дані про кількість куплених товарів та вартість одиниці кожного товару. Записати ці дані у вигляді 2-х векторів. Знайти вартість покупки.

Таблиця 3.

a 20; 15; 10 , b 700; 900; 500 .

Вартість покупки обчислюється за допомогою скалярного добутку цих векторів:

Âàðò ³ñò ü a b 20 700 15 900 10 500 32 500 .

2.7. Множення матриць Означення. Узгодженими називають матриці А та В, у яких кількість

стовпців матриці Am k дорівнює кількості рядків матриці Bk n .

Добутком матриці Am k на матрицю Bk n є матриця Cm n , кожен елемент aij якої дорівнює скалярному добутку і-го вектора-рядка матриці А

Розв’язання

Знайдемо матрицю С2 3 :

5

Зауваження . При множенні прямокутних матриць їх не можна переставляти місцями

Означення. Комутативними, або переставними називають квадратні матриці, для яких виконується рівність An n Bn n Bn n An n .

Зауваження . При множенні квадратних матриць тільки в окремих випадках можна переставляти місцями множники, наприклад, A E E A . У загальному випадку ця рівність не виконується. Переставивши місцями матриці, вибирають інші вектори-рядки та вектори-стовпці, які мають різну розмірність, їх не можна перемножити, тому

Розв’язання

Виконаємо дію множення матриць:

6

Переставимо матриці місцями і виконаємо дію множення:

Матриці А та В не є комутативними , оскільки A B B A.

Властивості дії множення Властивість 1. Для одиничної та нульової матриць виконуються

Властивість 5. Матриця, транспонована щодо добутку матриць, дорівнює добутку матриць, які є транспонованими до заданих матриць, що

Приклад 12

Знайти добутки матриць, вказати розмірність одержаних матриць.

7

Приклад 13

Два дочірні підприємства постачають у магазини три види продукції. Ціни за одиницю продукції змінилися тричі. Дані про кількість товарів та ціни за одиницю товару вказані у таблиці 4. Записати дані цієї таблиці у вигляді двох узгоджених матриць. Скласти матрицю С вартості товарів, що надійшли від кожного підприємства, у відповідності зі зміною цін. Яка інформація записана у елементі с12?

Таблиця 4.

Розв’язання

Складемо дві узгоджені матриці, для цього транспонуємо матрицю A32

– матриця кількості товару. Транспонована матриця кількості товару A'23 ,

є узгодженою з матрицею B33 – матриця вартості одиниці товару:

8

Знайдемо матрицю С вартості товарів:

дочірнього підприємства після І -ї зміни цін на товари.

2.8. Степені квадратної матриці

Будь-яку квадратну матрицю можна перемножити саму на себе, тобто

9

Тестові запитання для перевірки базових знань на рівні понять, означень, формулювань по темі "Дії над матрицями"

1. Вказати, які з наведених матриць є рівними:

д) інша відповідь (дати свою відповідь). 2. Матриці рівні, якщо:

а) співпадають їх розмірності; б) співпадають елементи їх головної діагоналі;

в) інша відповідь (дати свою відповідь).

3. Вказати, які з наведених матриць є транспонованими:

д) інша відповідь (дати свою відповідь). 4. Транспонування матриці відповідає:

а) симетричному розміщенню елементів відносно головної діагоналі; б) симетричному розміщенню елементів відносно побічної діагоналі; в) перестановці рядків матриці місцями; г) перестановці стовпців матриці місцями; д) інша відповідь (дати свою відповідь).

10