Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет технологий и дизайна

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тема 3. Визначники

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2016

Размер:

430.87 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Способи обчислення визначників ІІІ-го порядку

1.Метод трикутника

Воснову цього способу покладено правило обчислення визначників ІІІго порядку, формування добутків відбувається за схемою трикутників.

2.Метод розширення визначника (правило Саррюса)

Розширимо визначник і сформуємо добутки за схемою, яка передбачає

складання добутків із елементів, що знаходяться на головній і паралельних до

неї діагоналях (« + »), на побічній та паралельних до неї діагоналях (« – »):

a11	a12	a13	a11	a12	a13	a11	a12
a21	a22	a23	a21	a22	a23	a21	a22	a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31	a32	a33	a31	a32	a33	a31	a32	a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12.

Приклад 10

Обчислити визначник за правилом Саррюса.

								Розв’язання
	Розширимо визначник:

3	2	4	3	2	4 3		2
3	1	1	3	1 1		3	1	3 1 3 2 1 1 4 3 1 1 1 4
1	1	3	1	1	3	1	1	1 1 3 3 3 2 9 2 12 4 3 18 44.

3. Метод розкладання визначника за першим рядком матриці з використанням алгебраїчних доповнень

Розкладемо визначник за першим рядком матриці A . Обчислимо визначник через алгебраїчні доповнення:

a11 A11 a12 A12 a13 A13 ;

через мінори:

a11 1 1 1 M11 a12 1 1 2 M12 a13 1 1 3 M13 ;

розклавши за першим рядком:

a11

a12

a13

a22

a23

a21

a23

a21

a22

a31

a32

a33

(13)

(14)

(15)

Приклад 11

Обчислити визначник матриці А, розклавши його за елементами першого рядка матриці А:

	3	2	4			2	4
					3
	3	1	1	,	3	1 1		.
A
	1	1	3		1	1	3

Розв’язання

Обчислимо визначник за формулою (13). Для цього обчислимо

алгебраїчні доповнення A 1 i j												M	ij		кожного елемента першого рядка
							ij						ij
матриці А.
Спочатку обчислимо мінори:
					3		2		4			1 1
					3		2		4
a 3		M	11		3		1		1							1 3 1 1 4 ;
11			11									1		3
					1		1		3			1		3
					1		1		3
						3		2	4			3 1


a 2		M	12			3	1				1				3 3 1 1 8 ;
12			12									1	3
						1	1		3			1	3
						1	1		3
					3		2		4			3	1			1 3 1 1 4 .


a 4		M	13		3		1			1
13			13									1		1
					1		1		3			1		1
					1		1		3
Знайдемо відповідні алгебраїчні доповнення:
A 1 1 1 M 4;							A 1 1 2 M 8 ;										A 1 1 3	M 4 .
11		11					12							12			13	13
Обчислимо сам визначник:
		2 4
	3	2 4
	3	1	1	3 4 2 8 4 4 12 16 16 44 .
	1	1	3

3.6. Обчислення визначників вищих порядків

Обчислення визначників вищих порядків проводять шляхом зведення процесу обчислень до обчислення визначників нижчих порядків (мінорів та відповідних їм алгебраїчних доповнень).

Теорема Лапласа. Визначник п-го порядку дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка (стовпця) матриці на їх алгебраїчні доповнення:

	a11	a12	a1n
A	ai1	ai2	ain	ai1 Ai1 ai2 Ai2 ... ain Ain .	(16)
A	ai1	ai2	ain	ai1 Ai1 ai2 Ai2 ... ain Ain .	(16)
	an1	an2	ann

Розкладання визначника за і-тим рядком матриці

Приклад 12

Обчислити визначник четвертого порядку, розклавши його за елементами третього рядка.

Розв’язання

Розкладемо визначник, скориставшись формулою:

	a11		a12		a13	a14					3 1	M31 a32				3 2	M32
	a21		a22		a23	a24		a31 1				M31 a32			1		M32
	a21		a22		a23	a24					3 3	M33 a34				3 4	M34		(17)
	a31		a32		a33	a34		a33 1				M33 a34			1		M34
	a		a		a	a		a31 M32 a32 M32 a33 M33 a34 M34.
	41		42		43	44
Обчислимо визначник:
1 2 3 4							1	2	3	4			1 2	3	4		1 2	3	4
1 2 3 4							1	2	3	4			1 2	3	4		1 2	3	4
5 0		6		1	4		5	0	6	1	0		5 0	6	1	0	5 0	6	1
4 0		0		7			4	0	0	7			4 0	0	7		4 0	0	7
1 1		0		2			1 1		0	2			1 1	0	2		1 1	0	2

	1	2	3	4		2	3	4		1	2	3


	5	0	6	1
7	5	0	6	1	4	0	6	1	7	5	0	6	4 45 4 33 51.
	4	0	0	7		1	0	2		1	1	0
	1	1	0	2		1	0	2		1	1	0
	1	1	0	2

Розкладання визначника за і-тим стовпцем матриці

Приклад 13

Обчислити визначник четвертого порядку, розклавши його за елементами другого стовпця.

Розв’язання

Розкладемо визначник за формулою:

a11

a12

a13

a14

a 1 12 M

1 22 M

a21

a22

a23

a24

a 1 32 M

1 42 M

a31

a32

a33

a34

a a

a12 M12 a22 M 22 a32 M32 a42 M 42.

Обчислимо визначник:

1	2 3 4						1 2			3 4						1 2				3 4					1 2 3 4
1	2 3 4						1 2			3 4						1 2				3 4					1 2 3 4
5 0 6 1							5 0			6 1															5	0 6 1
5 0 6 1					2		5 0			6 1			0			5 0				6 1			0		5	0 6 1
4	0 0 7						4 0			0 7						4 0				0 7					4 0 0 7
1 1 0 2							1 1			0 2					1 1						0 2				1		1 0 2
	1		2	3	4				5	6	1						1		3	4


	5		0	6	1
1	5		0	6	1	2			4	0	7			1			5		6	1		2 6				63 51.
	4		0	0	7				1	0	2						4		0	7
		1	1	0	2				1	0	2						4		0	7
		1	1	0	2
	Тестові запитання для перевірки базових знань на рівні понять,
	означень, формулювань по темі "Елементи теорії визначників"
Всі відповіді обґрунтувати.
1.		Визначником матриці називають:
		а) число;															б) математичний вираз;
		в) інша відповідь (дати свою відповідь).
2.		Матриця може мати:
		а) єдиний визначник;															б) декілька визначників;
		в) не мати жодного визначника;
		г) інша відповідь (дати свою відповідь).
3.		Визначник обчислюється для матриці, яка є:
		а) прямокутною;								б) вектор-рядком;												в) вектор-стовпцем;
		г) інша відповідь (дати свою відповідь).
4.		Визначник матриці дорівнює :
		а) добутку її діагональних елементів;
		б) сумі добутків її елементів, вибраних довільним чином;
		в) інша відповідь (дати свою відповідь).
5.		При транспонуванні матриці визначник:
		а) змінює свій знак;															б) не змінює свій знак;
		в) інша відповідь (дати свою відповідь).
6.		При перестановці рядків у матриці її визначник:
		а) не змінюється;															б) змінює своє числове значення;
		в) інша відповідь (дати свою відповідь).
7.		Виродженою є матриця:
		а) визначник якої дорівнює 1;																б) прямокутна;									в) нульова;
		г) інша відповідь (дати свою відповідь).
8.		Яка із рівностей є вірною:
		а) 2			3	2 6		;		б)	2	1 3						1 6			;	в) 2		1		3		2 6
		а) 2		1	3	2 6		;		б)	2	1 3						1 6			;	в) 2		1		3		2 6
				4	5	4	5					4		5				4	10					4		5		8	10
		г) інша відповідь (дати свою відповідь).
9.		Яка із рівностей є вірною:

	2	3	6			2	3	6
а)	0	8	9	2 8 3;	б)	0	8	9	2 8 3 ;
	0	0	3			0	0	3

в) інша відповідь (дати свою відповідь). 10.Мінор елемента матриці – це :

а) довільна матриця; б) визначник, який обчислюється за окремими елементами матриці;

в) число, яке співставляють певному елементу матриці; г) інша відповідь (дати свою відповідь).

11.Алгебраїчним доповненням елемента матриці є: а) визначник меншої розмірності; б) матриця меншої розмірності;

в) інша відповідь (дати свою відповідь).

12.Чи співпадають значення мінорів і алгебраїчних доповнень одного і того ж самого елемента матриці:

а) так; б) ні; в) інша відповідь (дати свою відповідь). 13. Вказати, які з матриць є виродженими. Висновки підтвердити

обчисленням визначників.

									1	8	9	1
	3 7				3 7				0	5	0	4
	3 7		б)		3 7		;	в)	0	5	0	4	;
а)	4 5	;	б)	12		28	;	в)	0	3	0	2	;
	4 5			12		28			0	3	0	2
									0	0	4	7
									0	0	4	7
	5	6	7
г)	2	4	1 .
	10	12	14
	10	12	14

Контрольні запитання для перевірки знань на рівні доведень та виведень формул по темі "Елементи теорії визначників"

1.Довести на прикладі визначника третього порядку, записаного у загальному вигляді, твердження: "Визначник матриці дорівнює визначнику транспонованої матриці".

2.Довести на прикладі визначника третього порядку, записаного у загальному вигляді, твердження: "Якщо у матриці поміняти місцями будь-які два стовпці, то відбудеться зміна знаку визначника".

3.Довести на прикладі визначника третього порядку, записаного у

загальному вигляді, твердження: "Якщо у матриці всі елементи деякого стовпця помножити на однаковий множник, то визначник множиться на цей множник".

4.Довести на прикладі визначника другого порядку, записаного у загальному вигляді, твердження: "Якщо всі елементи першого стовпця

матриці записати у вигляді суми двох доданків aij bij cij ,

j 1, 2,..., n , то її визначник можна записати як суму двох визначників".

5.Довести на прикладі визначника другого порядку, записаного у загальному вигляді, твердження: "Якщо до елементів другого стовпця матриці додати елементи першого стовпця матриці, то значення визначника не зміниться".

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.02.201669.04 Кб13Тема 1.docx
#
05.02.2016424.27 Кб16Тема 11. Ранг матриці.pdf
#
30.03.2016502.41 Кб14Тема 16 (1).pdf
#
05.02.2016416.39 Кб15Тема 2. Дії над матрицями.pdf
#
01.03.202537.3 Кб0Тема 20-21.docx
#
05.02.2016430.87 Кб7Тема 3. Визначники.pdf
#
01.07.202530.28 Кб0Тема 3. Методологічні аспекти психології.docx
#
18.08.201972.7 Кб3Тема 3.doc
#
30.03.2016901.48 Кб32Тема 4.pdf
#
05.02.2016419.61 Кб8Тема 7.С.Л.Р.Метод Гаусса- виключ.невідомих.pdf
#
01.05.2025470.53 Кб0Тема лекції АРМНП для БІО 1,2.11.doc

									1	8	9	1
	3 7				3 7				0	5	0	4
	3 7		б)		3 7		;	в)	0	5	0	4	;
а)	4 5	;	б)	12		28	;	в)	0	3	0	2	;
	4 5			12		28			0	3	0	2
									0	0	4	7
									0	0	4	7
	5	6	7
г)	2	4	1 .
	10	12	14
	10	12	14

									1	8	9	1
	3 7				3 7				0	5	0	4
	3 7		б)		3 7		;	в)	0	5	0	4	;
а)	4 5	;	б)	12		28	;	в)	0	3	0	2	;
	4 5			12		28			0	3	0	2
									0	0	4	7
									0	0	4	7
	5	6	7
г)	2	4	1 .
	10	12	14
	10	12	14

									1	8	9	1
	3 7				3 7				0	5	0	4
	3 7		б)		3 7		;	в)	0	5	0	4	;
а)	4 5	;	б)	12		28	;	в)	0	3	0	2	;
	4 5			12		28			0	3	0	2
									0	0	4	7
									0	0	4	7
	5	6	7
г)	2	4	1 .
	10	12	14
	10	12	14