2 Нормальні алгоритми Маркова

2.1 Теоретичні поняття і визначення

Інший підхід до уточнення інтуїтивного поняття алгоритму

зробив російський математик Марков (1903 – 1979 р.). Він висловив думку про можливість запису будь-яких алгоритмів в термінах слів і словникових ф-цій, які одним словам ставлять у відповідність інші слова деякого алфавіту.

Нагадаю, що алгоритм – це сукупність правил, які визначають процес переробки допустимих початкових даних у вихідні результати.

Марков розглядав початкові дані і вихідні результати у вигляді слів, які складаються із символів деякого скінченого алфавіту.

Ідею нормального алгоритму Маркова (НАМ) розглянемо на прикладі таблиці слів, що перетворюються за допомогою Марковських підстановок.

	Перетворюване слово	Марківська підстановка	Результат
1	245	4  00	2005
2	функція	функція  tg x	tg x
3	телефон	теле 	фон
4	екран	теле  (цю підстановку не можна застосовувати до слова екран)	результата немає

Поняття алфавіту

Абстрактним алфавітом називається будь-яка скінчена сукупність символів, а буквами алфавіту - символи цієї сукупності.

Наприклад:

• український алфавіт А = а, б, …..я;

• алфавіт А = 0, 1, …..9 - алфавіт, що складається з цифр, де цифри є буквами цього алфавіту;

• А = I, * - алфавіт, що складається з двох символів "риска" і "зірочка", які є буквами цього алфавіту.

Кількість букв в алфавіті називають його обсягом.

Слово в алфавіті – це кожна впорядкована сукупність букв даного алфавіту (ab, ba – різні слова)

Довжина слова – це число букв у слові.

Слово P = ху має довжину 2.

Слово, що не містить жодної букви називається пустим, його довжина 0.

Нехай є такий алфавіт A = x, y, z, слово Q = xz має два входження у слово S, S = xy(xz)yyxx(xz)yx.

Особливий інтерес для нас має перше входження (рахуючи зліва-направо) слова Q у слово S.

Ми можемо його замінити на інше слово Т, Т = zzz, тобто Q  Т, тоді отримаємо слово S₁ = xyzzzyyxx(xz)yx.

Визначення операції заміни одного слова іншим

Нехай А - деякий алфавіт і P,Q – слова в цьому алфавіті. Припустимо, що серед букв алфавіту А немає букви . Вираз виду PQ називатимемо підстановкою або формулою підстановки, а слова P,Q – лівою й правою частиною підстановки, відповідно.

За змістом підстановку треба розуміти як правило перетворення слів в алфавіті А, сформульоване так: "Якщо в слово S входить слово P, то слово Р замінити словом Q. Якщо ж у слово S не входить слово P, то залишити слово S незмінним".

Якщо ліва частина підстановки PQ входить у слово S, то її називають підстановкою застосовною до даного слова S. У противному випадку підстановка PQ вважається незастосовною до даного слова S.

Види підстановок

Прості підстановки	P  Q якщо в лівій і правій частині підстановки не пусте слово
	 Q якщо в лівій частині підстановки пусте слово
	P  якщо в правій частині підстановки пусте слово
Заключна підстановка	P   Q

Нехай вираз P  [] Q означає будь-яку з формул підстановки:
	P  Q  Q P  P   Q

Тепер введемо поняття схеми підстановок

Нормальна схема в алфавіті А – це скінчена непуста впорядкована сукупність підстановок
	P1  [] Q1 P2  [] Q2 …… Pk  [] Qk
Нормальний алгоритм Маркова задається нормальною схемою в алфавіті А. Підстановки схеми застосовуються до слова відповідно до таких правил: а) перевірку застосовності підстановок до перетворюваного слова S на будь-якому етапі переробки слова треба починати з першої підстановки; б) якщо вона застосовна до слова S, то застосовувати її треба до першого входження її лівої частини у слово S. Якщо жодна з перших i підстановок 1 і < k незастосовна до S, а (і + 1) підстановка застосовна, то застосовується ця підстановка знов-таки до першого входження її лівої частини в перетворюване слово; в) процес перетворення слова продовжується доти, поки не дістанемо слово, до якого жодна з підстановок сукупності не застосовна або поки до слова не буде застосована заключна підстановка.

Приклад

Нормальний алгоритм Маркова задано схемою:

bab  aa

aa  b

bb  a

Знайти результат дії цього алгоритму на слово S = abaaabb.

Крок алгоритму	Перетворюване слово	Застосовна підстановка	Результат
1	abaaabb	aa  b	abbabb
2	abbabb	bab  aa	abaab
3	abaab	aa  b	abbb
4	abbb	bb  a	aab
5	aab	aa  b	bb
6	bb	bb  a	a

В результаті застосування алгоритму перетворення до слова S отримали S₁= a.

Якщо процес перетворення слова S закінчується після скінченого числа застосувань підстановок схеми алгоритму, то алгоритм називається застосовним до слова S.

Коли ж процес перетворення слова S не може закінчитися, то алгоритм називається незастосовним до слова S.

Якщо даний алгоритм позначити буквою f , то f (abaaabb) = a.

Приклад нормального алгоритму Маркова , заданого алфавітом

A= {I, +} і схемою алгоритму:

f f	I + I  + II + I  I

Даний НА виконує додавання 2-х натуральних чисел в унарній системі числення.

Застосуємо алгоритм до слова P = III + II

Крок алгоритму	Перетворюване слово	Підстановка	Результат
1	III + II	I + I  + II	II + III
2	II + III	I + I  + II	I + IIII
3	I + IIII	I + I  + II	+ IIIII
4	+ IIIII	+ I   I	IIIII

f (III + II) = IIIII.

Ми на цих прикладах бачимо, що НАМ можна розглядати як функцію, яка одним словам ставить у відповідність інші слова деякого алфавіту.

Нехай А – деякий скінчений алфавіт,

S(A) – множина слів в алфавіті А,

D_f - множина слів, які належать S(A) та до яких НАМ f є застосовним.

Тоді НАМ f визначає словникову функцію f : S(A)  S(A), причому область визначення цієї функції є D_f  S(A),

тобто, якщо слово Р належать D_{f ,} то нормальний алгоритм f визначає слово Q, як Q = f(P).

Процес знаходження слова Q називають обчисленням. Тобто НАМ обчислює словникову функцію, а ф-ція f називається обчислюваною за Марковим, або НАМобчислюваною.

Нехай А і В два алфавіти. Якщо кожна буква, що входить до алфавіту А є буквою алфавіту В, то говорять, що алфавіт В є розширенням алфавіту А, а А є частиною В.

Приклад Нехай A = {0, 1, 2, 3, …, 8, 9} і В – розширення А

В = {0, 1, 2, 3, …, 8, 9, x, y }

Розглянемо НАМ над А , тобто НА у розширенні алфавіту А (тобто з використанням ще букв х, у).

НАМ для обчислення ф-ції S(x) = x + 1, коли х записано в десятковій системі числення. НА запишемо у вигляді 3-х стовпчиків формул підстановок

х0  0х	0х  1	0у  1
х1  1х	1х  2	1у  2
х2  2х	2х  3	2у  3
х3  3х	3х  4	3у  4
х4  4х	4х  5	4у  5
х5  5х	5х  6	5у  6
х6  6х	6х  7	6у  7
х7  7х	7х  8	7у  8
х8  8х	8х  9	8у  9
х9  9х	9х  у0	9у  у0
		у  1
		 х

Розглянемо поняття еквівалентності 2-х алгоритмів.

Два алгоритми над алфавітом А називаються еквівалентними відносно А, якщо вони мають одну й ту саму область визначення і результати їх застосування до одного й того самого слова збігаються.

Для НАМ висувається гіпотеза, яку не можна довести, але можна прийняти, спираючись на попередній досвід математики й інформатики. Ця гіпотеза називається принципом нормалізації.

Принцип нормалізації

Будь-який алгоритм над скінченим алфавітом А являється еквівалентним відносно А деякому нормальному алгоритму Маркова над А.

Довести принцип нормалізації Маркова, як і гіпотезу Черча не можна, бо у формулювання цієї гіпотези входить інтуітивне поняття алгоритму. Нормальні алгоритми Маркова - це чітко визначені алгоритми. НАМ приймається як ще одна стандартна форма будь-якого алгоритму.

2.2 Лабораторна робота №2

Тема. Нормальні алгоритми Маркова та їх властивості.

Мета. Засвоїти основні поняття стосовно алгоритмічної системи нормальні алгоритми Маркова (НАМ).

Завдання.

1 Нехай n порядковий номер студента в журналі. Нехай

m визначається так:

10, якщо n =1;

m= n якщо 1 n  10;

остача від ділення n на 10, збільшена на одиницю.

Створити нормальний алгоритм Маркова U_m для обчислення функції S(x) = x + 1, якщо х – число записане в m- значній системі числення.

2 Застосувати U_m для обчислення S(n), (де n порядковий номер), попередньо перевівши цей порядковий номер у m- значну систему числення.

3 Побудувати нормальний алгоритм Маркова, який перетворює кожне натуральне число, записане в алфавіті А= {} в частку від ділення цього числа на n, записану в тому самому алфавіті.

4 Побудувати нормальний алгоритм Маркова U, який є композицією двох нормальних алгоритмів Маркова U₁ і U₂ , при чому:

U₁ - збільшує кожне натуральне число, записане в алфавіті А= {} на число t₁;

U₂ - збільшує кожне натуральне число, записане в алфавіті А= {} на число t₂;

де t₁ та t₂ – перша і друга цифра, відповідно,

числа:

n + 30 (для БІТ1-**, ЗІТ1-***); при n 40, n 50, n 60.

n + 40 (для БІТ2-**, ЗІТ2-***); при n 50, n 60, n 70.

n + 50 (для БІТ3-**, ЗІТ3-***); при n 60, n 70, n 80.

n + 60 (для БІТ4-**, ЗІТ4-***); при n 70, n 80, n 90.

t₁= 1, t₂ = 2 при n = 40;

t₁= 2, t₂ = 3 при n = 50;

t₁= 3, t₂ = 4 при n = 60.

t₁= 4, t₂ = 5 при n = 70.

t₁= 5, t₂ = 6 при n = 80.

t₁= 6, t₂ = 7 при n = 90.

Приклад виконання завдання

Варіант 37. Виконав студент групи ЗІТ-***. Дата ***.

1 Створимо НАМ U₅ для обчислення ф-ції S(x) = x + 1, коли х записано в 5-значній системі числення. НАМ U₅ запишемо у вигляді 3-х стовпчиків формул підстановок

1) *0  0*	6) 0*  1	11) 0у  1
2) *1  1*	7) 1*  2	12) 1у  2
3) *2  2*	8) 2*  3	13) 2у  3
4) *3  3*	9) 3*  4	14) 3у  4
5) *4  4*	10) 4* у0	15) 4у  у0
		16) у 1
		17) *

2 Застосуємо U₅ для обчислення S(n), (де n=24₁₀), попередньо перевівши цей порядковий номер у 5- значну систему числення

( n=44₅). Протокол застосування U₅ ( в дужках вкажемо номер застосованої підстановки) :

44 (17)

*44 (5)

4*4 (5)

44* (10)

*4у4 (15)

у00 (16)

100 (17)

U_m (44₅)=100₅=25₁₀..

3 Побудуємо нормальний алгоритм Маркова, який перетворює кожне натуральне число, записане в алфавіті А= {} в частку від ділення цього числа на 3, записану в тому самому алфавіті.

f	1) *III  I* 2) *I  * 3) *    *

4 Побудуємо нормальний алгоритм Маркова U, який є композицією двох нормальних алгоритмів Маркова U₁ і U₂ , при чому:

U₁ - збільшує кожне натуральне число, записане в алфавіті А= {} на число 2;

U₂ - збільшує кожне натуральне число, записане в алфавіті А= {} на число 1;

1) *  II

2)  I

3. 3)  *