Способи перевірки зв’язності графу

Існує кілька способів перевірки зв’язності графу. По-перше, можна скористатися означенням, тобто перевірити, чи існує для будь-яких вершин u та v даного графу маршрут між цими вершинами. По-друге, якщо маємо граф скінченного порядку, можна побудувати матрицю досяжності цього графу, користуючись операціями  та . По-третє, можна використати теорему 3, тобто перевірити, чи можна подати даний граф у вигляді диз’юнктивного об’єднання двох його підграфів. Якщо граф подано у вигляді діаграми, перевірити його зв’язність, очевидно, дуже легко.

Неорієнтовані графи та бінарні відношення

Твердження 6. Нехай V – непорожня множина. Тоді між множиною неорі-єнтованих графів з множиною вершин V та множиною бінарних симетричних відношень, заданих на множині V, існує взаємно однозначна відповідність.

Доведення. Нехай задано граф G=(V,E). Побудуємо на множині V бінарне відношення R_G таким чином: xR_Gy  x та y суміжні (тобто E містить ребро (x,y)). Відношення R_G симетричне, оскільки xR_Gy  x та y суміжні  y та x суміжні  yR_Gx.

Нехай на непорожній множині V задано бінарне симетричне відношення R. Побудуємо граф G_R таким чином: за множину вершин графу візьмемо множину V, а за множину ребер – множину {(u,v)| <u,v>R}.

Наведені правила побудови бінарного відношення за графом та графу за бінарним відношенням визначають бієкцію множини неорієнтованих графів з множиною вершин V на множину бінарних симетричних відношень, заданих на множині V. Твердження доведено.

Розглянемо приклади. Нехай задано граф G=({1,2,3,4},{(1,1),(1,3),(2,3), (3,4)}). Побудуємо відношення R_G на множині V. Для цього переглянемо ребра графу G й знайдемо усі пари суміжних вершин. Суміжними є вершини 1 та 1, 1 та 3, 3 та 1, 2 та 3, 3 та 2, 3 та 4, 4 та 3. Отже, відношення R_G має вигляд: R_G={<1,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}. Нехай тепер на множині {1,2,3,4} задано бінарне відношення R={<3,2>,<1,4>,<4,2>,<4,1>,<2,3>,<2,4>}. Це відно-шення симетричне, отже, можна подати його у вигляді такого неорієнтованого графу: G_R=({1,2,3,4},{(3,2),(1,4),(2,4)}). Ребро (3,2) (неупорядкована пара вершин 3 та 2) графу побудовано за допомогою упорядкованих взаємно обернених пар <3,2> та <2,3> відношення R. Ребра (1,4) та (2,4) побудовані аналогічним чином.

Контрольні питання

Що таке: а) маршрут (замкнутий маршрут, ланцюг, простий ланцюг) між парою вершин графу, б) цикл (простий цикл) у графі, в) зв’язний граф?

Які існують способи обчислення кількості маршрутів заданої довжини між парою вершин графу?

Що таке: а) підграф графу, б) кістяковий підграф графу, в) компонент зв’язності графу?

Які є способи перевірки зв’язності графу?

Як подати бінарне симетричне відношення, задане на деякій непорожній множині, за допомогою неорієнтованого графу?

Задачі та вправи

І. Для графу G=({1,2,3,4,5},{(1,2),(1,3),(2,3),(3,4),(3,5),(4,5)}) визначити: а) чи існує маршрут (ланцюг, простий ланцюг) довжини k між вершинами u та v.

1) k=3, u=1, v=2; 2) k=3, u=4, v=5; 3) k=4, u=1, v=3;

4) k=4, u=2, v=4, 5) k=5, u=1, v=2; 6) k=7, u=1, v=4.

ІІ. Задано граф G=({1,2,3,4,5},{(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5)}). Знайти: а) усі упорядковані пари вершин v та u графу G такі, що v досяжна з u; б) усі прості ланцюги між вершинами 1 та 4; в) усі ланцюги між вершинами 5 та 1; г) усі прості цикли (з точністю до циклічного зсуву).

ІІІ. Для кожного з графів із завдання ІІ на стор. 9 визначити, чи є він зв’язним, побудувавши матрицю досяжності двома способами. Кожен незв’язний граф подати у вигляді диз’юнктивного об’єднання компонентів зв’язності.

ІV. Для графу G=({1,2,3,4,5},{(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}) визна-чити: а) кількість маршрутів довжини 4 між вершинами 1 та 5; б) кількість маршрутів довжини не більше 4 між вершинами 2 та 3; в) кількість маршрутів довжини 4 у графі G; г) кількість маршрутів довжини не більше 4 у графі G.

V. Для графу G=({1,2,3,4,5},{(1,3),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}) знайти: а) усі під-графи порядку 2; б) усі підграфи з двома ребрами; в) усі ациклічні підграфи порядку 3; г) усі зв’язні власні підграфи; д) усі незв’язні підграфи, що мають принаймні один цикл; е) усі зв’язні ациклічні підграфи; є) усі кістякові підграфи.

VІ. На заданій множині А побудувати відношення еквівалентності та подати його у вигляді графу. Побудований граф подати у вигляді диз’юнктивного об’єднання компонентів зв’язності.

1) А={1,2,3,4}; 2) A={a,b,c,d,e}; 3) A={,,,,,}; 4) A=Z; 5) A={n| nN, n>10}; 6) A={x| x – птах}; 7) A={x| x – зірка}; 8) А=С.

VІІ. Довести наслідок теореми 1: якщо G=(V,E) – граф порядку n, А_G – матри-ця суміжності G, то маршрут між i-ю та j-ю вершинами графу G існує тоді й тільки тоді, коли елемент c_ij матриці C= А_G¹ + …+ А_Gⁿ відмінний від нуля.

VІІІ. Довести твердження 4.

ІХ. Нехай G – граф, G – його доповнення. Довести, що принаймні один з цих графів зв’язний.