2.2. Проверка гипотез относительно дисперсий

Рассмотрим проверку гипотез относительно дисперсии сово­купности, подчиняющейся нормальному распределению. В отли­чие от процедур сравнения средних процедуры сравнения дис­персий довольно чувствительны к допущению о нормальности.

Пусть мы хотим проверить гипотезу: дисперсия совокуп­ности, распределенной нормально, равна некоторой постоянной, скажем, σ_о². В формализованном виде

(6)

Для проверки этой гипотезы используется статистика

(7)

где SS= — скорректированная сумма квадратов выборочных данных. Нулевая гипотеза отклоняется, если или

, где исоответственно верхняя α/2-процентная и нижняя (1—α/2)-процентная точки распределения хи-квадрат, сп—1 степенью свободы.

Рассмотрим теперь сравнение дисперсий двух нормально распределенных совокупностей. Если взять случайные выборки объема п₁ и n₂ из первой и второй совокупностей соответственно, то статистика для проверки гипотезы

(8)

определяется отношением выборочных дисперсий

(9)

Нулевая гипотеза отклоняется, если или, где и соответственно

верхняя α/2-процентная и нижняя (1—α/2)-процентная точки F-распределения с п₁ — 1 и п₂ — 1 степенями свободы.

2.3. Вероятность ошибки II рода

При проверке гипотез в каждом случае важно знать веро­ятность ошибки II рода или, что эквивалентно, мощность крите­рия. Рассмотрим, например, вероятность ошибки II рода для проверки гипотезы

при известной дисперсии σ². Статистика для проверки этой ги­потезы определяется уравнением (3). Для нахождения

Рис. 1. Распределение статистики Zo при гипотезах Но и Н₁

ошибки II рода необходимо предположить, что нулевая гипо­теза Но:μ= μ_о—ложна. Пусть истинное значение среднего μ=μ_о+δ, где δ>0. Отсюда следует, что справедлива альтерна­тивная гипотеза Но:μ≠ μ_о, причем статистика для проверки

(11)

Распределение статистики Zo, отвечающее каждой из гипо­тез Но и Н₁ приведено на рис. 1. Непосредственно видно, что вероятность ошибки II рода — это вероятность попадания вели­чины Zo в интервал между —Zα/2 и Zα/2 при условии истинности гипотезы Н₁ (эта вероятность равна площади заштрихованной фигуры); математически эта вероятность определяется выра­жением

(12)

где Ф(z)—вероятность того, что стандартизованная нормаль­ная переменная не превосходит z. Отметим, что выражение (12) определяет вероятность выполнения неравенства —Zα/2 <Zo<Zα/2, когда истинна гипотеза Н₁.

Литература

1. Монтгомери Д. К. Планирование эксперимента и анализ данных: Пер. с англ.- Л.: Судостроение, 1980. – 384с., ил.

2. Вознесенский В. А. Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях.-М.: Финансы и статистика, 1981. –263 с., ил.