Задача № 3 Цель
Показать использование следствия 1 из теоремы единственности и метода наложения для определения потенциалов.
Условие
Найти емкость двух параллельных проводов радиуса r0 = 1см при расстоянии между осями d = 4 см. Построить график распределения плотности заряда на поверхности провода при напряжении между проводами U = 220 В.
П
лан
решения
1. Находим положение фиктивных заряженных осей.
2. Определяем потенциалы проводов.
3. Находим емкость двухпроводной линии.
4. По выражению потенциала в произвольной точке определяем напряженность Е.
5. Из граничных условий получаем выражение, показывающее распределение плотности поверхностного заряда.
6. Строим график qs().
Решение
1. Определяем положение фиктивных осей:
.
2. Определяем разность потенциалов:
.
3. Находим емкость линии:
.
4. Находим потенциал в произвольной точке М:
.
5. Неизвестное находим из выражения для емкости:
;
.
6. Определяем расстояние от фиктивных осей до точки М:
;
.
7. Находим напряженность электрического поля:
;
.
Подставив R= r0= 1, получаем
.
8. Определяем поверхностную плотность заряда:
;
П
ри=0cos=1
и= 42710–12Кл/м2;
=90 cos=0 и = 63610–12 Кл/м2;
Вывод
Наибольшая плотность имеет место в точках, лежащих на кратчайшем расстоянии между проводами.
Задача № 4
Цель
Показать применение метода изображений и наложения для расчета электрического поля.
Условие
Провод
радиусомr0= 0,5 см находится на расстоянииh=200 см от вертикальной проводящей
поверхности. Определить емкость,
создаваемую проводом и проводящими
поверхностями.
План решения
1. Составим расчетную схему по методу изображений.
2. Определим потенциал провода по методу наложения.
3. Найдем емкость.
Решение
1. По методу изображений рисуем рас- четную схему.
2
.
Определяем потенциал провода:
3. Находим емкость:
,
где 2– потенциал проводящей поверхности, равный нулю.
Вывод
Для расчета электрического поля используется схема с двумя парами заряженных осей в однородной среде.
Задача № 5
Цель
Показать методику расчета электрического поля двух цилиндрических проводов разных радиусов.
Условие
Рассчитать емкость на единицу длины двухпроводной линии. Радиус одного провода r1= 2 мм, другогоr2= 4 мм. Расстояние между геометрическими осями проводов 2H= 1 см. Диэлектрическая проницаемость окружающей среды= 3. Определить, в какой точкеЕ=Еmах,если линия находится под напряжениемU= 100 В. Найти потенциалы проводов.
План решения
1 2H H1 H2 h h r1 r2 + 
2
.
Определим потенциалы проводов.
3. Рассчитаем емкость двухпроводной линии.
4. Определим точку, где Е=Еmах.
Решение
1. Находим положение электрических осей проводов. Известно, что
h2=H12–r12; h2=H22–r22;H1+H2=2H. Решая эти уравнения совместно, получаем:
;
;
.
2. Находим потенциалы проводов:
;
.
Тогда
.
3. Рассчитываем емкость линии:
.
4. Из выражения для емкости определяем и находим потенциалы проводов:
;
;
.
5. Наибольшая напряженность поля будет на поверхности меньшего цилиндра в точке, которая лежит на линии, соединяющей оси цилиндров:
.
Вывод
Для расчета поля используется соотношение между смещением центров эквипотенциалей и их радиусами.
Задача № 6
Цель
Показать применение метода наложения и изображений при расчете поля двухпроводной экранированной линии.
Условие
И
меется
двухпроводная линия с радиусами проводовr0и линейной плотностью зарядав проводящей цилиндрической оболочке
радиусаR. Расстояние
между проводами среды.
Определить емкость системы.
План решения
1. По методу наложения разделим оболочку на две части, в каждой из которых находится один провод.
2. Найдем положение электрических осей.
3. Определим потенциалы проводов.
4. Рассчитаем емкость линии.
Решение
1. Разделяем оболочку на две части (показано ниже).
2. Тогда расчет поля сводится к расчету поля 4 заряженных осей. При этом полагаем, что геометрическая и электрическая оси самих проводов совпадают. Находим положение электрических осей:
Возведем в квадрат второе равенство:
x= a2 + ab + b2/4
Подставим его в первое:
a2 + R2 = a2 + ab + b2/4.
Отсюда
.
3. Найдем потенциал в произвольной точке поля, созданного четырьмя электрическими осями:
Положим, что= 0 на середине расстояния между 1 и 2 проводами. Тогдаconst= 0.
4. Определяем потенциалы проводов:
;
.
Отсюда
.
5.
Находим емкость линии:
.
Выражение для емкости можно преобразовать:
,
так как
.
Вывод
Влияние оболочки на емкость линии определяется вычитаемым членом в знаменателе.
Задача № 7
Цель
Показать применение метода многократных изображений и метода наложения для расчета поля.
Условие
Металлический цилиндр расположен в диэлектрической среде с проницаемостью = 1 между двумя проводящими стенками, образующими угол 60°. Потенциал провода по отношению к проводящим стенкам= 100 В, радиус цилиндраr0= 2 мм. Рассчитать емкость между цилиндром и стенками.
П
лан
решения
1. Построим расчетную схему из шести заряженных осей.
2. Определяем потенциал провода.
3. Найдем емкость между проводом и стенками.
Решение
1
.
Сначала по методу изображений составляем
разностную схему.
2. Затем определяем потенциал провода по методу наложения:
Емкость системы
.
Задача № 8
Цель
Произвести расчет электрического поля в разных средах, имеющих плоскую границу, когда по обе стороны границы несимметрично расположены провода.
Условие
Два провода радиусом r0расположены несимметрично относительно плоской границы двух разных диэлектриков. Линейная плотность зарядов равна. Рассчитать емкость между проводами.
План решения
1. По методу Сирла составляем расчетные схемы, причем полагаем, что электрические и геометрические оси проводов совпадают.
Расчетная схема для заряженной оси с плотностью заряда +, расположенной слева от границы раздела диэлектриков на расстоянииа, показана ниже.
Р
асчетная
схема для оси с плотностью,
расположенной справа от границы раздела,
показана далее.
Объединяем схемы с одинаковыми проницаемостями.
2. Определяем фиктивные заряды:
;
;
;
.
3. Определяем потенциалы проводов:
;
;
4. Находим емкость между проводами:
.