51

Условие

Над плоской поверхностью земли на высоте h = 5 м проходит провод радиусом r₀ = 10 мм. Потенциал провода по отношению к земле  = 36 кВ. Определить характер распределения поверхностной плотности зарядов на поверхности земли.

П

+

-

лан решения

1. По методу изображений составимрасчетную картину.

2

h

. Найдем потенциал в произвольной точке М по методу наложения.

3

h

Определим характер изменения напряженности поля вдоль осиx, взяв производную от выражения потенциала и приравнявунулю.

4. Найдем характер распределения поверхностной плотности зарядов из граничных условий.

Решение

1. Рассматривая провод как заряженную ось с линейной плотностью заряда , определяем потенциал в произвольной точке М(х,у) из схемы, полученной по методу изображений:

.

2. Определяем неизвестную линейную плотность зарядов из выражения для емкости двухпроводной линии:

.

Отсюда .

3. По соотношению Е = grad  определяем Е:

;

.

Тогда из граничных условий на границе “диэлектрик-проводник”

.

Выводы

1. Для расчета поля над землей по другую сторону границы раздела вводится фиктивная заряженная ось и расчет ведется в однородной среде для двух заряженных осей.

2. Наибольшее значение плотность поверхностных зарядов имеет в точке, расположенной на ближайшем расстоянии от провода.

Задача № 2

Цель

Используя уравнения с потенциальными коэффициентами, определить напряжение между проводами.

Условие

Дана двухпроводная линия над землёй с линейной плотностью зарядов ₁ =10^-8 Кл/м и ₂ = 10^-8 Кл/м. Радиус проводов r₀ = 0,002 м. Провода находятся в среде с  = 2. Определить напряжение между проводами.

План решения

1. Составим расчетную схему по методу изображений и определим потенциальные коэффициенты.

2. Зная потенциальные коэффиценты, определим напряжение между проводами.

Решение

1. Составляем расчетную схему и уравнения с потенциальными коэффициентами:

₁ = ₁₁ ₁ + ₁₂ ₂;

₂ = ₂₁ ₁ + ₂₂ ₂.

2. Определяем потенциальные

коэффициенты:

;

;

3. Определяем потенциалы проводов и напряжения:

;

.

Вывод

Расчет потенциалов проводов проведем по схеме с двумя парами проводов в однородной среде.

Задача № 3

Цель

Показать использование метода изображений для расчета емкости и пробивного напряжения двух некоаксиальных цилиндров.

Условие. Даны два некоаксиальных цилиндра радиусами r₁ = 10 мм, r₂ = 40 мм. Расстояние между осями цилиндров d = 20 мм. Пробивная прочность диэлектрика между цилиндрами Е_проб = 30 кВ/см, а диэлектрическая проницаемость  = 1. Определить пробивное напряжение и емкость между цилиндрами.

План решения

1. Найдем положение фиктивной заряженной оси.

2. Определим потенциалы цилиндров.

3. Рассчитаем емкость системы.

4. Определим пробивное напряжение.

Решение

1. Заменяем внутренний цилиндр фиктивной заряженной осью с зарядом +, вводим другую фиктивную заряженную ось с зарядоми определяем расстояние между осями:

(S₁  a)(S₁+a) = r₁; (S₂  a)(S₂+a) = r₂; S₂ =S + d.

Решая систему относительно S₁, S₂ и a, получаем:

S₁ = 2,75 см; S₂ = 4,75 см; а = 2,55 см.

2. Определяем потенциалы проводов в точках, лежащих на кратчайшем расстоянии между цилиндрами:

; .

Тогда .

3. Определяем емкость между цилиндрами:

4. Определяем пробивное напряжение. Наибольшая напряженность поля будет на поверхности цилиндра радиусом r, в точке, лежащей на кратчайшем расстоянии между цилиндрами:

Е_mах = Е_проб = .

Определяем отсюда и подставляем в выражение для напряжения:

.

Выводы

1. Для определения потенциалов цилиндров вводятся две фиктивные заряженные оси, расстояние между которыми и определяется.

2. Потенциалы определяют по методу наложения с учетом положения фиктивных осей.