33

Решение

1. Запишем уравнение Пуассона для плоско-параллельного поля:

или .

Для нашего случая ;

.

2. Используем граничные условия для определения постоянных интегрирования:

при х = 0 φ = 200 В и, следовательно, const₂ = 200;

х = 2 см φ = 0 и, следовательно, const₁ =20100 В/см.

3. Определяем характер изменения потенциала по оси x:

φ = 5000х³  20100х + 200.

4. Определяем значение потенциала сетки при х = 0,5 см:

φ = 5000 0,5³  20100 0,5 + 200 =  9225 В.

Вывод

Если плотность заряда между обкладками зависит от координаты, то потенциал вдоль оси X меняется по нелинейному закону.

Задача № 2

Цель

Исследовать поле однослойного сферического конденсатора.

Условие

Дан сферический конденсатор, у которого радиус внутренней обкладки r₁, а внешней r₂. Между обкладками находится воздух. Потенциал внутренней обкладки φ₁ = 0, а внешней φ₂ = =φ₀. Определить характер изменения потенциала и напряженности электрического поля между обкладками.

План решения

Так как между обкладками нет заряда, то для определения характера изменения потенциала используем уравнение Лапласа.

Решение

1. Запишем уравнение Лапласа в общем виде и в сферических координатах, полагая, что потенциал зависит только от радиуса:

, или ; ; .

2. Определяем постоянные интегрирования из граничных условий:

при r = r₁ ;

при r = r₂ .

Отсюда .

3. Подставляем полученные значения постоянных интегрирования в выражение для потенциала:

.

4. Находим характер изменения напряженности электрического поля:

.

Вывод

Изменение φ и Е между обкладками имеет нелинейный характер.

Задача № 3

Цель

Исследовать поле двухслойного цилиндрического конденсатора.

Условие

Дан цилиндрический конденсатор с внутренней обкладкой радиусом а₁, внешней – радиусом а₂ и границей между слоями диэлектрика радиусом а. Проницаемость слоя в пределах а₁ < r < a равна ε₁, а слоя в пределах а < r < a₂ равна ε₂. Длина конденсатора l. Заряд конденсатора Q. Рассчитать электрическое поле между обкладками и емкость конденсатора.

План решения

1. По уравнению Лапласа определим характер изменения φ в каждом слое в отдельности.

2. Определим характер изменения значений D и Е.

3. Найдем напряжение между обкладками и емкость конденсатора.

4. Найдем энергию, накопленную в конденсаторе.

Решение

1. Решаем уравнения Лапласа для каждого слоя в отдельности:

.

Для слоя а₁ ‹ r ‹ a φ₁ = A₁ln r + B₁;

a ‹ r ‹ a₂ φ₂ = A₂ln r + B₂.

2. Находим напряженность электрического поля как . Тогда ; .

3. Находим постоянные интегрирования из граничных условий:

при r₁ = a₁ , следовательно, .

Отсюда .

При r = a D₁ = D₂, или ₁Е₁= Е₂ε₂; значит, .

Отсюда .

4 . Предположим, что φ = 0 при r = a₂, так как точку нулевого потенциала можно задать произвольно. Тогда .

Из условия непрерывности потенциала во всех точках поля, то есть

,

получаем .

5. Подставляем значения постоянных интегрирования в выражения для Е и φ:

; ;

; ,

где r – координата произвольной точки.

6. Находим напряжение и емкость конденсатора:

; .

Если бы конденсатор был однослойным, то есть ε₀ = ε₂ = ε₁, то его ёмкость C΄ была бы равна

.

7. Находим энергию, накопленную в конденсаторе:

.

8. Строим зависимость D, Е и φ(r):

Выводы

1. На границе слоев вектор электрического смещения D непрерывен.

2. На границе слоев вектор напряженности электрического поля претерпевает разрыв.

1.4. Примеры решения задач по исследованию поля плоского конденсатора Задача № 1

Цель

Исследовать электрическое поле двухслойного плоского конденсатора и выяснить, изменится ли напряжение на обкладках при изменении проницаемости одного из слоев.

Условие

Конденсатор заряжен от источника напряжения до U = 100 В, а затем источник отключен. Диэлектрическая проницаемость слоев ε₁ = 3; ε₂ = 6. Толщина слоев d₁ = d₂ = 1 см.

1. Выяснить характер распределения D, Е и φ между пластинами конденсатора.

2. Как изменятся D, Е, φ(х) и U, если проницаемость второго слоя ε₂=1?

План решения

Для определения характера изменения используем решение уравнения Лапласа для каждого слоя и граничные условия на границе раздела двух диэлектриков.

Решение

1. Используем решение уравнения Лапласа для каждого слоя в отдельности и граничные условия на границе раздела двух диэлектриков. Тогда напряжение между обкладками двухслойного конденсатора

U = E₁ d₁ + E₂ d₂.

Граничные условия

D _1n = D_2n, или ε₀ε₁E_1n = ε₀ε₂E_2n,

где n – нормаль, направленная по оси Х.

Совместное решение даёт

.

2. Согласно уравнению Лапласа для однослойного конденсатора потенциал

.

Тогда изменение потенциала в первом слое определяется следующим выражением:

.

При x = 0  = 100 − E₁x = 100 − 66,6x.

Потенциал во втором слое определяется аналогично:

при х = 0 ; φ₁ = φ₂ = 100 – 66,61 = 33,3 В.

Тогда const₂ = 33,3 и φ₂ = −33,3x + 33,3.

3. Вектор электрического смещения

D_1n= D_2n = ε₀ε₁Е_1n = 8,85 10^–12  3 66,6 = 17,7 10^–12 Кл/см².

4. Если положить, что ε₂ = 1, то при отключенном источнике заряд не изменится, а его поверхностная плотность равна смещению D, т.е. останется:

D_1n= D_2n; ε₀ε₁Е₁ = ε₀ε₂Е_2n; 3 66,6 = 1 Е_2n; Е_2n = 199,8 В/см.

5. Графическое изображение поля показано ниже.

6 . Тогда напряжение на конденсаторе

U = E₁ d₁ + E₂ d₂ = 66,6 1 + 199,8 = 266,8 B.

7. Потенциал будет изменяться по следующему выражению:

φ₁ = −E₁x + const₁.

Положим, что при x = d₁, φ₁ = 0, отсюда следует, что const₁ = E₁ d₁,

φ₁ = −E₁x + E₁d₁ = −Ex + 66,6 = 66,6 – E₁x.

Потенциал во втором слое

φ₂ = −E₂x + const₂,

где х отсчитывается от начала второго слоя. При х = 0 φ₂ = 0 и, значит, const₂ = 0. Тогда φ₂ = −Е₂х.

8. Графическая картина поля показана ниже.

Вывод

В плоском конденсаторе наибольшая напряженность поля имеет место в диэлектрике с меньшей проницаемостью.

Задача № 2

Цель

Исследовать поле плоского конденсатора, у которого диэлектрическая проницаемость материала диэлектрика зависит от координаты.

Условие

В плоском конденсаторе расстояние между пластинами d, напряжение на конденсаторе U, диэлектрическая проницаемость , площадь пластины S. Определить характер изменения напряженности электрического поля Е между пластинами, емкость конденсатора и объемную плотность связанных зарядов ρ_связ.

План решения

1. Используя уравнения связи D и Е, по выражению для U определим D.

2. Зная D, определим Е.

3. По равенству D ≈ ρ_своб и известному U определим емкость конденсатора.

4. Зная соотношение между Е и Р, определим объемную плотность связанных зарядов ρ_связ = −div P.

Решение

1. Напряжение на конденсаторе

, но D = ε₀ εE.

Тогда , или .

Отсюда .

2. Определяем напряженность электрического поля:

.

3. Определяем емкость конденсатора:

.

При q_{s своб} = D , где S – площадь пластины.

4. Находим объемную плотность связанных зарядов:

,

.

Вывод

Напряженность электрического плоского конденсатора с проницаемостью, зависящей от координаты обратно пропорционально, зависит от координаты, т.е. не является постоянной величиной.

Задача № 3

Цель

Выяснить возможность пробоя двухслойного конденсатора при данном напряжении.

Условие

К плоскому двухслойному конденсатору приложено напряжение U = 48 кВ. Проницаемость слоев ε₁ = 1; ε₂ = 5. Толщина слоев d₁ = 1 см, d₂ = 0,5 см. Пробивная напряженность диэлектриков соответственно Е_1проб = 30 кВ/см, Е_2проб = 55 кВ/см. Определить возможность пробоя конденсатора.

План решения

1. Используя решение уравнения Лапласа для однослойного диэлектрика, выразим U через Е.

2. Сравним полученные значения Е₁ и Е₂ с Е_1проб и Е_2проб.

Решение

1. Запишем выражение для напряжения и граничные условия:

;

;

U = Е₁d₁ + Е₂d₂; ε₁E₁ = ε₂E₂.

Решая уравнения совместно, получаем Е₁ = 43,5 кВ/см; Е₂ = 8,7 кВ/см.

2. Сравнив Е₁ с Е_1проб, делаем вывод о том, что этот слой пробит и, следовательно, все напряжения приложены ко второму слою и напряженность в нем

.

Это означает, что и второй слой пробит.

Вывод

При пробое одного из слоев диэлектрика полностью пробивается конденсатор.

Задача № 4

Цель

Исследовать поле трехслойного конденсатора при заданном напряжении между пластинами и когда пластины закорочены.

Условие

Между пластинами плоского конденсатора симметрично расположен диэлектрический слой (ε₂ = 7), занимающий по толщине половину меж-электродного пространства. Расстояние между пластинами 2 см. Определить D, P, E и φ в воздухе и диэлектрике, если:

1) к пластинам присоединен источник с постоянным напряжением U = 10 кВ;

2) пластины замкнуты накоротко, но поляризация в диэлектрике осталась прежней. Размер слоев d₁ = d₃ = 0,5 см, d₂ = 1 см, проницаемость ε₁ = ε₃ =1.

План решения

1. Используем уравнения Лапласа для однослойного конденсатора, II закон Кирхгофа и граничные условия для определения напряженности электрического поля в слоях.

2. Для закороченных пластин при условии сохранения поляризации определим Е. Зная Е, находим D и φ.

Решение

1. Напряжение между пластинами является суммой падений напряжения в каждом слое:

U = E₁d₁ + E₂d₂ + E₃d₃.

Так как E₁ = E₃, то U = 2E₁d₁ + E₂d₂ .

Граничные условия D_1n = D_2n; ε₀ ε₁E_1n = ε₀ε₂E_2n. Отсюда E₁ = 7E₂.

Тогда U = E₂ (14d₁ + d₂); ;

;

;

D₂ = D₁ = 775 мкКл/см².

2. Определяем поляризацию слоев:

D = ε₀Е + Р.

Отсюда Р₁ = ε₀ε₁Е₁ – ε₀Е₁ = 0; Р₂=ε₀ε₂Е₂  ε₀Е₂ = ε₀(ε₂  1)Е₂ = 8,85 х х 10^-12  6  125000 = 6647  10^-9 = 6,65  10^-6 Кл/см².

3. Находим распределение потенциала в каждом слое.

Слой № 1 (0 ‹ х ‹ 0,5 см):

.

При х = 0 φ₁ = U , значит, const₁ = U.

Отсюда φ₁ = – Е₁х + U = (10 – 8,75х) кВ.

Слой № 2 (0,5 ‹ х ‹ 1,5 см):

φ₁ = – Е₂х + const₂.

При х = d₁ + 0,5 φ₁ = 10 – 8,75  0,5 = 5,625 кВ; φ₁ = φ₂ = 5,625 = – 1,250,5+ + const₂; const₂ = 5 кВ; φ₂ = –Е₂х + 5 = (5 – 1,25x) кВ.

Слой № 3 (1,5 ‹ х ‹ 2,5 см):

φ₃ = – Е₃х + const₃ = – E₁x + const₃.

Так как Е₁ = Е₃ , то при х = 2:

φ₃ = 0; const₃ = Е₁(d₃ + d₂ + d₁) = 8,752 =17,5 кВ ;

φ₃ = – Е₁х + 17,5 = (17,5 – 8,75x) кВ.

4. При закороченных пластинах конденсатора

U = 2E₁d₁ + E₂d₂ = 0; E₁ = – E₂.

Так как поляризация осталась прежней, то D₁ = ε₀Е₁ + Р₁.

; Е₂ = – Е₁ = – 3750 В/см;

D ₁ = D₂ = ε₀ε₁Е₁ = 8,85  10 ^–12  1 3750 = 3,32 10 ^–8 Кл/см².

5. Находим распределение потенциала в каждом слое.

Слой № 1: φ₁ = – Е₁х + const_1.

При х = 0 φ₁ = U = 0, значит, const₁ = 0, φ₁ = – 3,75x кВ.

Слой № 2: φ₂ = – Е₂х + const₂.

При х = d₁ φ₁ = φ₂, φ₁ = – 3,75 0,5 = – 1875 кВ, тогда const₂ = =– 1,875 – 3,75 0,5 = – 3,75 кВ; φ₂ = (– 3,75 + 3,75х) кВ.

Слой № 3: φ₃ = – Е₃х + const₃ = – Е₁х + const_3.

При х = 2 φ₃ = 0, тогда const₃ = E₁d₃ = 3,75 2 = 7,5 кВ, φ₃ = (7,5 – –3,75х) кВ.

Выводы

1. При закороченных пластинах напряженность электрического поля по величине одинакова во всех слоях.

2. Величина вектора диэлектрического смещения уменьшилась по сравнению с предыдущим вариантом более чем в 2 раза.