1.2. Примеры решения задач по принципу замены эквипотенциальных поверхностей тонким проводящим листом

Задача № 1

Цель

Исследовать поле внутри и вне равномерно заряженного шара с объемной плотностью заряда ρ.

Условие

Положительный зарядq равномерно распределен по объему шара радиусом а. Объемная плотность заряда . Найти напряженность электростатического поля , вектор электрической индукции, потенциал φ в точках, расположенных внутри и вне шара. Диэлектрическая проницаемость материала шара и окружающей среды ε.

План решения

1. Исследуем поле внутри шара, т.е. при r < а.

2. Исследуем поле вне шара, т.е. при r а.

Решение. 1. Проводим на расстоянии r < а от центра шара сферическую поверхность S и применяем теорему Гаусса. Начало координат помещаем в центр шара. Так как заряд распределен симметрично относительно центра шара, то вектора ив сферической системе координат имеют только радиальные составляющие.

Обозначаем индексом «1» все величины внутри шара, а индексом «2»  за пределами шара:

.

Отсюда ;; .

2. Проводим на расстоянии r₂ > а от центра шара сферическую поверхность S₂ и применяем теорему Гаусса:

;

;

;

.

3. Постоянные интегрирования определяем из граничных условий.

При r₂ = ∞ φ₂ = 0. Тогда const₂ = 0; .

При r₁ = r₂ = a ₁ = ₂. Следовательно, .

Отсюда ; .

4. Изображаем характер изменения Е и φ внутри и вне шара.

E E₁

E₂

0

 r

₁ ₂

0 a r

Выводы

1. Характер изменения Е внутри и вне шара резко различается.

2. Изменения φ внутри и вне шара взаимообратные.

Задача № 2

Цель

1. Исследовать электрическое поле внутри и вне заряженного цилиндра радиусом r₀ с объемной плотностью ρ.

2. Выяснить, как изменится характер поля, если цилиндр металлический и на его поверхности равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью q_s.

Условие

1. Электронный луч имеет форму цилиндра радиусом r₀ с объемной плотностью заряда ρ. Исследовать поле внутри и вне цилиндра.

2. Металлический цилиндр радиусом r₀ имеет поверхностную плотность заряда q_s. Исследовать поле внутри и вне цилиндра.

План решения

1. Выясним характер электрического поля внутри заряженного цилиндра с объёмной плотностью заряда ρ.

2. Определим постоянные интегрирования из граничных условий.

3. Выясним характер электрического поля в случае металлического цилиндра и сравним с предыдущим вариантом.

Решение

1. Определяем характер электрического поля внутри заряженного по объёму цилиндра, обозначив все величины индексом «1».

По теореме Гаусса для цилиндра длиной, равной единице:

;

; ;

.

Если принять, что φ₁ = 0 при r₁ = 0, тогда const₁ = 0.

2. Определяем характер поля за пределами объемно заряженного цилиндра, обозначив все величины индексом «2»:

;

; ;

.

Определяем постоянные интегрирования из условия на границе.

При r₁ = r₂ = r₀ φ₁ = φ₂ ; .

Отсюда ; .

3. Выясняем характер электрического поля внутри и вне металлического цилиндра.

Для поля внутри цилиндра: .

D₁ = 0 и Е₁ = 0. .

Для поля вне металлического цилиндра:

; ; ;

.

При r₁ = r₂ = r₀ .

Отсюда и.

Вывод

Характер электрического поля цилиндра, заряженного с объемной плотностью ρ, отличается от характера электрического поля металличес- кого цилиндра, так как электрическое поле внутри металлического цилиндра отсутствует.

Задача № 3

Цель

Изучить характер электрического поля и определить емкость металлического шара, окруженного двойным слоем диэлектрика.

Условие

Дан металлический шар радиусом r₁ = 5 см, окруженный слоем диэлектрика радиусом r₂ = 1 см с проницаемостью ε = 3 и слоем воздуха с проницаемостью ε = 1 радиусом r₃ > r₂, т.е. r₃ изменяется от 10 см до ∞. Шар имеет заряд q = 10^-10 Кл. Надо выяснить характер изменения D, Е и φ в зависимости от координаты r и определить емкость шара С.

План решения

1. По теореме Гаусса определимD и Е в каждой из трех областей.

2. Зная Е, определим характер изменения потенциала в каждой области.

3. Зная потенциал шара, определим его емкость.

Решение

1. Обозначаем области: 1 – металли-ческий шар; 2 – слой диэлектрика с ε = 3; 3 – слой воздуха.

2. Исследуем поле внутри шара при r < r₁:

; D₁ = 0; Е₁ = 0.

3. Исследуем поле в среде с ε = 3, т.е. при r₁ < r < r₂ :

;Кл/м² ; В/м;

.

4. Исследуем поле при r > r₂ :

;Кл/м² ; В/м;

.

5. Определим постоянные интегрирования из условий:

при r → ∞ φ₃ = 0, тогда const₂ = 0; при r = r₂ φ₂ = φ₃;

; const=6.

6. Построим график Е, D и  (r):

Е₁ = 0; при r = r₁

;

12 В

;

r = r₂, ;

.

r₁ r₂ r

7. Определим емкость шара:

.

Выводы

1. Напряженность электрического поля на границах сред изменяется скачком.

2. Характер изменения электрической индукции в разных диэлектриках одинаков.

3. Объем металлического шара эквипотенциален.

Задача № 4

Цель

Исследовать электрическое поле цилиндрического конденсатора.

Условие

Дан цилиндрический конденсатор с радиусом жилы r₁ и внутренним радиусом оболочки r₂. Известно напряжение U между жилой и оболочкой. Выяснить зависимость Е и φ(r) и определить такое значение радиуса жилы r₁, при котором напряженность электрического поля Е на поверхности жилы будет минимальной.

План решения

1. По теореме Гаусса определим Е.

2. Зная Е, определим φ(r) и φ на жиле и внутренней поверхности оболочки.

3. Определим наибольшую величину Е и, взяв производную по r_1, найдем такое r₁, при котором Е будет минимальной.

Решение

1. Рассматриваем жилу как заряженную ось, тогда по теореме Гаусса:

;

.

2. Наибольшее значение Е будет на поверхности жилы:

.

3. Определяем потенциалы жилы и облочки:

; .

4. По известному значению U = φ₁ – φ₂ определяем заряд τ:

; .

5. Тогда .

6. Для определения минимального значения E_max берем производную от знаменателя по r₁ и приравниваем нулю:

; ;.

Выводы

1. Напряженность электрического поля меняется обратно пропорционально радиусу, а потенциал меняется по логарифмической зависимости.

2. Наименьшее значение Е на поверхности жилы будет при .

Задача № 5

Цель

Выяснить запас электрической прочности и величину энергии на единицу длины коаксиального кабеля.

Условие

Коаксиальный кабель имеет размеры r₁ = 1 мм, r₂ = 4 мм и полистироловую изоляцию с проницаемостью ε = 2,5. Напряжение между жилой и оболочкой U = 400 В. Известна пробивная напряженность изоляции Е_проб = 2,5· 10⁷ В/м.

Определить емкость, запас электрической прочности и величину энергии электрического поля на единицу длины кабеля.

План решения

1. Определим заряд конденсатора по заданному напряжению, геометрическим размерам и характеристике изоляции. Зная заряд, определим емкость кабеля.

2. Из отношения значения пробивной напряженности и значения наибольшей напряженности определим запас электрической прочности.

3. Зная емкость и напряжение между жилой и оболочкой, вычислим энергию электрического поля на единицу длины.

Решение

1. Определяем заряд кабеля: .

Отсюда .

2. Вычисляем емкость кабеля на единицу длины:

Ф/м.

3. Наибольшая напряженность поля будет на поверхности жилы:

.

4. Запас электрической прочности

.

5. Энергия электрического поля

.

Вывод

Запас электрической прочности кабеля вполне достаточен.

Задача № 6

Цель

Исследовать поле двухслойного цилиндрического конденсатора.

Условие

Цилиндрический конденсатор заполнен двухслойным диэлектриком со значениями проницаемости ε₁ = 1, ε₂ = 3.

1. Определить пробивное напряжение этого конденсатора, если r₁ = 1 мм, r₂ = 2 мм, r₃ = 4 мм, Е_проб = 30 кВ/см, Е₂ = 60 кВ/см.

2. Как изменится пробивное напряжение, если конденсатор полностью будет заполнен диэлектриком с ε = 1 или ε = 3?

3. Как должна меняться проницаемость диэлектрика, чтобы напряженность электрического поля, заполненного одним диэлектриком конденсатора, была постоянной?

План решения

1. Определим заряд конденсатора из выражения для напряжения.

2. Из выражения для наибольшего значенияЕ найдем U_проб.

3. Определим U_проб, если конденсатор будет заполнен одним диэлектриком.

4. Из выражения для Е определяем характер изменения ε.

Решение

1. Определяем напряжение на конденсаторе:

;

; .Тогда .

2. Наибольшее значение Е_max имеет место на поверхности жилы:

.

Выполнив Е_max = Е_проб, получаем значение U_проб.

Тогда .

Если конденсатор будет заполнен диэлектриком с ε = 1, то

U_проб = Е_{1 проб} r₁ ln = 30· 0,1· ln 4 = 4,15 кВ.

3. Если конденсатор будет заполнен диэлектриком с ε = 3, то

U_проб = Е_{2 проб} r₁ ln = 8,3 кВ.

4. Из выражения для Е определяем ε (r): .

5. Значит, .

Выводы

1. Пробивное напряжение двухслойного конденсатора меньше, чем однослойного при их одинаковых геометрических размерах.

2. Чтобы напряжённость электрического поля оставалась неизменной, необходимо, чтобы ε изменялась обратно пропорционально радиусу.