21

1. Электростатическое поле

1.1. Основные величины и уравнения электростатического поля

Электростатическим полем называют поле неподвижных зарядов.

В чистом виде такие поля не встречаются, так как являющиеся носителями зарядов материальные частицы всегда находятся в движении. Однако при решении многих задач можно полагать, что заряды являются неподвижными.

Различают свободные и связанные заряды. Под свободными зарядами понимают заряды, которые под действием электрического поля могут свободно перемещаться в среде. Свободные заряды считаются носителями тока в проводнике, называемого током проводимости.

Связанные заряды входят в состав нейтральных молекул диэлектриков или являются токами, закрепленными в твердых диэлектриках вблизи определённых положений равновесия. Они удерживаются в фиксированных положениях под действием внутриатомных или внутримолекулярных сил. В присутствии же постороннего электрического поля связанные заряды могут смещаться на некоторое небольшое расстояние.

Электрическое поле обуславливается как свободными, так и связанными зарядами.

Основными характеристиками электростатического поля являются напряжённость поля и потенциал φ. Напряженность поля определяют как силу , с которой электрическое поле действует на точечный, положительный единичный зарядq, при внесении которого поле не искажается:

. (1.1)

В системе СИ напряженность электрического поля измеряется в вольтах на метр, т.е. В/м.

Сила взаимодействия зарядов, а значит и напряженность электрического поля в различных средах, различны. Физически это можно объяснить так. Под действием электрического поля вещество поляризуется, в результате чего появляется дополнительное электрическое поле, которое накладывается на первое. Суммарное поле при этом оказывается отличным от того, каким оно было в вакууме.

Различают полярные и неполярные молекулы. В полярных молекулах центр тяжести электронов сдвинут относительно центра тяжести протонов. Поэтому полярную молекулу можно уподобить крошечному электрическому диполю – системе из двух зарядов равных по величине и противоположных по знаку зарядов, расположенных на некотором малом расстоянии друг от друга.

Диполи характеризуются дипольным моментом. Дипольный момент  это вектор, численно равный произведению величины заряда на расстояние между зарядами (называемый «плечом» диполя) и направленный вдоль оси («плеча») диполя от отрицательного заряда к положительному:

, (1.2)

где –единичный вектор, который направлен по линии, соединяющей заряды диполя.

Неполярные молекулы не обладают собственным дипольным моментом. Но под действием внешнего электрического поля отрицательные заряды в молекуле перераспределяются, и она становится полярной.

Д

ля характеристики поляризации вводят вектор поляризованности, Кл/м², определяемый как предел отношения суммарного дипольного момента вещества в объёме ∆V к величине этого объёма при ∆V → 0:

. (1.3)

При несильных внешних электрических полях вектор поляризованности можно считать пропорциональным напряженности элект-рического поля:

= ε₀k, (1.4)

где ε₀ – диэлектрическая постоянная, равная 8,85·10^–12 Ф/м; k – диэлектрическая восприимчивость среды, безразмерный коэффициент, зависящий от свойств среды.

При решении многих вопросов желательно иметь оценку действия зарядов вне зависимости от свойств среды. Это достигается введением в расчеты вектора электрического смещения (электрической индукции) , Кл/м², который в однородных и изотропных средах пропорционален напряженности электрического поля и связан с векторами и соотношением

= ε₀ +. (1.5)

Подставив в (1.5) значение из (1.4), получим

= ε₀+ε₀k = ε₀ (1+k). (1.6)

Из последнего выражения видно, что поляризованность среды показывает, насколько электрическое смещение в данной среде отличается от ее значения в вакууме. Введем понятие относительной диэлектрической проницаемости, обозначив её 1 + k = ε. Тогда выражение (1.6) можно записать иначе:

= ε₀ε, (1.7)

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды, безразмерная величина.

Рассмотрим электрическое поле в вакууме двух точечных зарядов q₁ и q₂. Согласно закону Кулона, эти заряды в вакууме взаимодействуют друг с другом с силой , прямо пропорциональной произведению зарядов q₁ и q₂ и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними. Эта сила направлена по линии, соединяющей эти заряды. Заряды, имеющие одинаковые знаки, стремятся оттолкнуться друг от друга, а заряды противоположных знаков стремятся сблизиться:

. (1.8)

Тогда напряженность электрического поля, создаваемая точечным зарядом, определяется как

. (1.9)

Перейдя к вектору электрического смещения, получим

. (1.10)

Из последнего выражения следует, что при одинаковом распределении зарядов вектор имеет одинаковое значение в разных средах, то есть он не зависит от связанных зарядов среды.

Электростатическое поле – безвихревое. Это видно из того, что при перемещении точечного заряда, внесенного в электростатическое поле, вдоль замкнутого контура выполненная силами поля работа равна нулю:

. (1.11)

Так как заряд не равен нулю, то циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна нулю.

Используя теорему Стокса, можно записать:

.

Отсюда следует, что rot = 0, а это говорит о том, что электростатическое поле  безвихревое.

Безвихревое поле является потенциальным. Это означает, что можно найти такую скалярную функцию φ, градиент которой, взятый со знаком плюс или минус, равен вектору напряженности электрического поля :

grad φ = ± . (1.12)

В теории поля выбирают знак «минус», который указывает на то, что напряженность поля направлена в сторону убывания φ.

Скалярная функция φ называется потенциальной или просто потенциалом.

Потенциал любой точки, исходя из выражения (1.12), можно определить через вектор :

, (1.13)

где постоянная интегрирования определяется заданием точки, потенциал которой принимается равным нулю.

Потенциал поля точечного заряда определяется как

, (1.14)

где r – расстояние от заряда до точки, где определяется потенциал.

Задавая потенциал точки при r → ∞ равным нулю и учитывая, что

, получаем

. (1.15)

Зная потенциал, можно найти напряженность электрического поля:

= – grad φ. (1.16)

В электростатическом поле теории поля введено понятие эквипотенциальных поверхностей – поверхностей равного потенциала  = const. Эти поверхности, как следует из выражения (1.16), ортогональны силовым линиям электрического поля.

Ввиду того, что электрические силовые линии нормальны к идеально проводящей поверхности, она эквипотенциальна. Это позволяет говорить о потенциале проводника, подразумевая потенциал любой его точки. Различие форм и размеров уединенных проводников сказывается на величине зарядов, которые надо сообщить проводникам для получения одного и того же значения потенциала. Потому каждое уединенное проводящее тело характеризуется емкостью С, определяемой как заряд, при котором потенциал проводника равен единице. Так как наблюдается линейная зависимость между потенциалом и зарядом, то

.

Теорема Гаусса является одной из важных теорем электростатики. Она гласит, что поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

(1.17)

Так как = ε₀ε, то выражение (1.17) можно переписать иначе:

. (1.18)

Это говорит о том, что вектор зависит от диэлектрических свойств среды.

Но поток вектора через любую замкнутую поверхность создается не только свободными, но и связанными зарядами, находящимися внутри этой поверхности. Из курса физики известно, что

. (1.19)

Перепишем выражение (1.17) иначе:

.

Тогда с учетом (1.19) получаем следующую форму записи теоремы Гаусса:

. (1.20)

С помощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя определить, как связан исток линий в данной точке поля с плотностью свободных зарядов в той же точке. Для этого используется дифференциальная форма теоремы Гаусса.

Для перехода к этой форме разделим обе части выражения (1.17) на объем, находящийся внутри замкнутой поверхности, и возьмем предел этих отношений при условии, что величина объема стремится к нулю:

. (1.21)

Предел отношения потока векторной величины сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем V, к объему V называют дивергенцией вектора . Таким образом, теорема Гаусса в дифференциальной форме записывается в следующем виде:

div = ρ_своб , (1.22)

то есть исток линий в данной точке поля определяется величиной объемной плотности свободных зарядов ρ_своб в этой точке. Если ρ_своб > 0, то из бесконечно малого объема, окружающего данную точку поля, линии вектора исходят. Если в данной точке ρ_своб < 0, то в бесконечно малый объем, внутри которого находится данная точка, линии вектора входят. И наконец, если ρ_своб= 0, то в данной точке линии вектора не начинаются и не заканчиваются.

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме:

div =div ε₀ε = ρ_своб,

= – grad φ .

Тогда можно получить:

div grad 

или . (1.23)

Это уравнение называют уравнением Пуассона.

Частный вид уравнения Пуассона, когда ρ_своб = 0, называют уравнением Лапласа, которое записывается так:

²  = 0. (1.24)

Таким образом, система уравнений, описывающих электростатичес-кое поле, выглядит так:

rot = 0;

div = ρ_своб;

= ε₀ε;

. (1.25)

Для решения уравнений Пуассона и Лапласа необходимо знать граничные условия, под которыми понимают соотношение между векторами электрического поля на границе раздела двух сред. Для расчетов удобнее иметь соотношения между составляющими векторов поля – касательной Е_t (тангенциальной) и нормальной к границе раздела E_n.

На границе раздела двух диэлектриков в случае отсутствия свободных зарядов граничные условия могут быть представлены следующими соотношениями:

E_1t = E_2t; D_1n = D_2n; P_1n – P_2n = – q_связ ; φ₁ = φ₂. (1.26)

На границе раздела проводящее тело – диэлектрик при отсутствии тока по проводящему телу выполняются следующие граничные условия:

E_t = 0;

D_n = q_своб, (1.27)

где q_своб – поверхностная плотность свободных зарядов на поверхности проводника.

Так как уравнение Лапласа допускает бесконечное множество линейно независимых частных решений, то необходим критерий, который позволяет отобрать из всех возможных решений то, которое соответствует данной задаче. Такой критерий устанавливается теоремой единственности: решение, удовлетворяющее уравнениям поля и граничным условиям данной задачи, является единственным.

Из теоремы единственности вытекают два следствия.

Следствие 1. Электростатическое поле (и соответствующее ему решение) в некотором объеме, ограниченном эквипотенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, которым сообщены соответствующие потенциалы.

Следствие 2. Электростатическое поле по одну сторону поверхности S не изменится, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S.

В этой работе приводится решение некоторых задач электростатики с использованием:

1) теоремы Гаусса;

2) принципа замены эквипотенциальной поверхности бесконечно тонким проводящим листом;

3) решения уравнений Пуассона и Лапласа;

4. метода наложения;

5. метода изображений.