82

4.2.6. Переходные процессы в цепях второго порядка

Одна из классических задач в теории переходных процессов – анализ разряда конденсатора на цепь RL.

4.2.6.1. Разряд емкости на цепь RL

1. Независимые начальные условия для рассматриваемой цепи (рис. 4.15):

2. Дифференциальное уравнение цепи и корни характеристического уравнения:

;

.

Характеристическое уравнение

или . (4.11)

Корни характеристического уравнения

. (4.12)

3. Полное решение . Вид свободной составляющей и характер переходного процесса будут определяться тем, какими числами будут корни характеристического уравнения. Это зависит от соотношения между параметрами цепи, в частности, от подкоренного выражения в уравнении (4.12). Здесь возможны три варианта:

1. , где  – волновое сопротивление контура, т.е. для низкодобротных контуров Q < 0,5. При этом корни p₁ и p₂ – вещественные отрицательные разные.

2. или Q = 0,5: корни p₁ = p₂ – вещественные отрицательные равные

3. или Q > 0,5: корни p₁ и p₂ – комплексные сопряженные.

В первых двух случаях переходный процесс носит апериодический характер (напряжение на емкости u_C монотонно затухает до нуля, не меняя своей полярности); в третьем случае процесс разряда – колебательный.

4.2.6.2. Апериодический емкости на цепь RL

Рассмотрим случай, когда p_1,2 – действительные и отрицательные, т.е. . В этом случае переходный процесс называется апериодическим и вид полного решения следующий:

Найдем постоянные интегрирования А₁ и А₂:

;

; аналогично: .

Таким образом, искомое имеет вид:

.

; .

Качественно изобразим график (рис. 4.15).

Рассмотрим начальные значения:

П олучим функцию изменения тока в цепи:

.

С учетом того, что по теореме Виета ,

.

Для построения графика (рис. 4.16) проведем аналогичные изложенным выше исследования. Поскольку , первая экспонента имеет большую постоянную времени и обращается в нуль за больший промежуток времени. Так как , , , тогда

Получим функцию изменения напряжения на индуктивности

.

С учетом сказанного выше, exp1 находится в нижней полуплоскости и имеет большую постоянную времени, а exp2 находится в верхней полуплоскости и устремляется к нулю за меньший промежуток времени (рис. 4.17).

Начальные условия определяются следующим образом . Поскольку , модули exp1, 2 отличаются на E, причем exp1(0⁺) < exp2(0⁺).

4 .2.5.3. Колебательный заряд конденсатора

В случае, если корни характеристического уравнения p_1,2 комплексные сопряженные, переходный процесс имеет колебательный характер. В данном случае и подкоренное выражение отрицательное. Корни характеристического уравнения в общем случае записываются в виде

,

где  – коэффициент затухания;

 – частота свободных (собственных) колебаний контура.

Между и существует следующая связь

.

Поскольку все изложенные выше выкладки применимы и для данного случая, запишем полное решение

.

Подставив в данную формулу выражения для и , получим:

.

Определим ток в контуре

Таким образом,

.

Введем и упростим выражение, полученное для :

,

тогда, обозначив , где ,

Таким образом,

.

При построении графиков следует принимать во внимание соотношение между постоянной времени экспоненты и периодом синусоиды в свободной составляющей. Рассмотрим два варианта.

1 . . В данном случае возможно графическое перемножение экспоненты и синусоиды (рис. 4.18).

2. . В данном случае возможно только аналитическое определение свободной составляющей (рис. 4.19). Для этого необходимо оценить время переходного процесса , где . Далее в зависимости от необходимой точности построения графика этот промежуток времени следует разбить на n интервалов t и далее рассчитать значение искомой функции в каждый момент .

Получим общий вид системы уравнений для определения постоянных интегрирования для случая комплексных корней характеристического уравнения. Как уже было показано, полное решение запишется

.

Для определения В₁ и В₂ составим систему уравнений:

Запишем для t = 0⁺

Таким образом, искомая система уравнений имеет вид:

4.2.5.4. Общий случай расчета цепи II порядка

Проиллюстрируем рассмотренную выше методику на примере цепи второго порядка.

Пусть дана цепь (рис. 4.20) с параметрами Е = 30 В, J = 2 А, R₁ = 20 Ом, R₂ = 10 Ом, С = 100 мкФ, L = 50 мГн.

Требуется определить закон изменения тока i₁(t) после коммутации.

1. Правила коммутации:

i_L(0^-) = i_L(0⁺) = 0 А,

u_C (0^-) = u_C (0⁺) = JR₂ = 20 B.

2. Составление характери­стического уравнения цепи. С помощью совместного решения однородной системы дифференциальных уравнений. Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:

Методом исключения получаем из данной системы дифференциальное неоднородное уравнение

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Подставим значения параметров цепи:

p² + 700p + 300000 = 0.

Корни характеристического уравнения

p₁ = – 350 + j421,308, p₂ = – 350 – j421,308

являются комплексными сопряженными, следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

3. Определение принужденной составляющей. Рассматриваемая цепь в принужденном режиме имеет вид (рис. 4.21)

4. Определение свободной составляющей. Для цепей, характеристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в виде

,

где  – декремент затухания,

 – частота свободных колебаний определяются через корни характеристического уравнения .

Таким образом, в выражении i_1св необходимо определить постоянные интегрирования А₁ и А₂. Вычисление их ведется с помощью системы уравнений, составленных для момента t = 0⁺:

4.1. Определение значений и с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случае составляется система уравнений Кирхгофа. Методом исключения выражается значение тока через известные значения u_C(0⁺) и i₂(0⁺):

.

Дифференцируя выражение для i₁(t), получим

.

Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим

.

Подставив соответствующие значения u_C и i_L в момент t = 0⁺, рассчитаем

A/с.

4.2. Определение i₁(0⁺) и с использованием резистивных схем замещения в момент t = 0⁺. При построении схемы замещения в 0⁺:

–источники с ЭДС или задающим током, номиналы резисторов оставить неизменными;

– емкости и индуктивности же заменить в соответствии со следующим правилом: емкости с нулевыми начальными условиями () заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями () заменяются противодействующими источниками ЭДС с ;

– ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия (), размыкаются, в случае ненулевых начальных условий () индуктивности заменяют на содействующие источники тока с .

Схема замещения в 0⁺ для величин токов и напряжений изображена на рис. 4.22.

По II закону Кирхгофа получим

.

Для построения схемы замещения в (0⁺) для производных токов и напряжений необходимо определить начальные значения:

Таким образом, следует определить i_C(0⁺) и u_L(0⁺) с помощью уже полученной схемы замещения:

а) для определения u_L(0⁺) составим уравнение по II закону Кирхгофа:

,

подставив значения, получим u_L(0⁺) = 0, следовательно, .

б) i_C(0⁺) = i₁(0⁺) = 0,5 A, следовательно, = 5000 B/с.

При построении схемы замещения в 0⁺ для производных следует:

– источники заменить на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равным соответственно производной от данных в задании;

– номиналы резисторов оставить неизменными;

– емкости и индуктивности же заменить в соответствии со следующим правилом: емкости с нулевыми начальными условиями () заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями () заменяются противодействующими источниками ЭДС с ;

– ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия (), размыкаются, в случае ненулевых начальных условий () индуктивности заменяют на содействующие источники тока с .

Таким образом, осуществляется операция дифференцирования, адекватная дифференцированию системы уравнений Кирхгофа.

В нашем случае, когда в цепи действуют источники постоянных воздействий, источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками (т.к. ), а ветви с источниками тока размыкаются (т.к. ).

Таким образом, схема замещения в t = 0⁺ для производных имеет вид (рис. 4.23). Определим .

4.3. Определение постоянных интегриро­вания:

Решив данную систему уравнений, получим

А₁ = 0,1667, А₂ = – 0,455.

5. Определение полного решения. Полное решение следует искать в виде

i₁(t) = i_1пр + i_1св.

С учетом произведенных расчетов получим

Для удобства преобразуем полученное выражение в синусоидальную форму:

.

Таким образом, искомый ток изменяется по следующему закону

i₁(t) = 1/3 + 0,485e^-350t sin(421,308t + 2,788).

График изменения i₁(t) представлен на рис. 4.24.

Порядок расчета переходных процессов классическим методом:

• расчет принужденной составляющей переходного процесса;

• определение корней характеристического уравнения;

• определение свободной составляющей переходного процесса в зависимости от полученных корней;

• запись полного решения ;

• определение независимых начальных условий (ток в индуктивности и напряжение на конденсаторе) из расчета докоммутационного режима;

• определение постоянных интегрирования;

• нахождение окончательного решения .

Классический метод анализа переходных процессов, будучи прозрачным и наглядным, имеет недостатки, связанные с громоздкой процедурой определения начальных условий, которые усугубляются с ростом порядка исследуемой цепи.