- •4. Переходные процессы в линейных электрических цепях
- •4.1. Общие вопросы теории переходных процессов
- •4.2. Классический метод расчёта переходных процессов
- •4.2.1. Определение принужденной составляющей
- •4.2.2. Определение порядка цепи n
- •4.2.3. Определение корней характеристического уравнения
- •4.2.4. Определение постоянных интегрирования
- •4.2.5. Переходные процессы в цепях Iпорядка
- •4.2.5.1. Разряд заряженной ёмкости через сопротивление r
- •4.2.5.2. Подключение r-цепи к источнику постоянного напряжения
- •4.2.5.3. Подключение r-цепи к источнику постоянного напряжения
- •4.2.5.4. ПодключениеRc-цепи к источнику гармонического напряжения
4.2.4. Определение постоянных интегрирования
Как известно, постоянные интегрирования определяются из начальных условий, каковыми являются значения искомой функции и ее производных по (n– 1)-ую включительно в начальный момент времени 0+(«справа»). В отличие от чисто математических задач, где эти условия задаются в качестве исходных данных непосредственно, при анализе переходных процессов задаются начальные условия «слева» в моментt = 0–, предшествующий коммутации (чаще всего они формулируются самой постановкой задачи и легко определяются из расчета докоммутационного режима). Нахождение начальных условий «справа» по известным значениям начальных условий «слева» – ключевой момент в расчете переходных процессов.
Опишем процедуру отыскания начальных условий в цепи n-го порядка
для послекоммутационной схемы () составляют систему уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа, дополняют эту систему компонентными уравнениями типадля емкости;
рассматривают эту систему уравнений в момент t = 0+ с учетом независимых начальных условий, которые по правилам коммутации берутся равными начальным условиям «слева», в результате определяются зависимые начальные условия, в том числе значения первых производных от индуктивных токов и емкостных напряжений;
для отыскания значений первых производных от зависимых электрических величин и вторых производных от независимых электрических величин необходимо систему уравнений из п. 1 продифференцировать и рассмотреть ее в момент t = 0+ с учетом информации, полученной в п. 2;
процедура дифференцирования продолжается до тех пор, пока не будет найдена (n– 1)-ая производная искомой функции в 0+.
Система уравнений для определения постоянных интегрирования имеет следующий вид:
(4.9)
Здесь для определенности полагаем все корни pk вещественными разными числами. Кроме того, следует учитывать, что при наличии в цепи только источников постоянных воздействий значение производных от принужденной составляющей переходного процесса равны нулю.
Возможная схемная реализация этой технологии подробно описана в [] и позже будет пояснена на конкретном примере.
4.2.5. Переходные процессы в цепях Iпорядка
Рассмотрим примеры расчета переходных процессов в неразветвленных электрических цепях, с достаточной степенью наглядности иллюстрирующие физические явления, происходящие в них в переходных режимах.
4.2.5.1. Разряд заряженной ёмкости через сопротивление r
1. Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.5:
.
2. Составим дифференциальное уравнение цепи:
;
.
Характеристическое уравнение первого порядка:
,
корень которого .
3. Полное решение дифференциального уравнения:
.
Поскольку уравнение имеет первый порядок, свободная составляющая имеет одну экспоненту
.
4. Определим принужденную составляющую .
5. Для определения постоянной интегрирования Aзапишем полное решение для моментаt = 0+
.
Применив правило коммутации, получим окончательное решение
.
Ток в цепи определяется с помощью дифференциального закона Ома
,
,.
Итак, имеем две экспоненты, описывающие изменения и. Графики измененияипредставлены на рис. 4.6. Напряжение на конденсаторе непрерывно в момент коммутации и уменьшается по экспоненциальному закону от начального значенияU0. Знак «минус» в выражении для тока говорит о том, что ток при разряде конденсатора направлен противоположно току при его заряде. В начальный момент значение тока максимально, его спад связан с уменьшением напряжения на элементах цепи. Ток на ёмкости меняется скачком.
Введём величину, характеризующую скорость изменения электрической величины в переходном режиме, называемуюпостоянная времени ().
Величина показывает, за какой промежуток времени свободная составляющая переходного процесса уменьшается враз.
Чем больше, тем медленнее переходный процесс, тем больше. Хотя полученные выше выражения определяют бесконечную длительность переходного процесса – свободные составляющие лишь асимптотически стремятся к нулю – практически можно считать, что переходный процесс заканчивается за время, равное .
Постоянную времени можно графически определить по длине подкасательной, проведённой в любой точке свободной составляющей переходного процесса (рис. 4.7).
Постоянная времени измеряется в секундах и для цепей первого порядка связана с корнем характеристического уравнения
. (4.10)
Рассмотрим энергетические соотношения, описывающие работу цепи после коммутации.
Энергия электрического поля конденсатора до коммутации –, в результате полного разряда при.
Покажем, что вся энергия, запасенная в конденсаторе, выделяется в виде тепловой энергии на резисторе R: