Федеральное агентство по образованию и науке РФ Пермский государственный технический университет Кафедра теоретической механики Курсовая работа по теоретической механике Исследование вращательного движения твердого тела Вариант 8 Выполнил студент гр. МТТ-06 /С.Н. Каменских/ Проверил преподаватель /А.А. Селянинов/ Пермь – 2008

-2-

СОДЕРЖАНИЕ

1.	Техническая постановка задачи	3
2.	Математическая постановка задачи	4
3.	Метод Рунге-Кутта	5
4.	Программа для ПЭВМ	7
5.	Результаты расчета. Графики	8
6.	Выводы	12
7.	Литература	13
8.	Приложение. Таблицы	14

-3-

1. Техническая постановка задачи

А

z

х

у

Имеется твердое тело, которое вращается относительно неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью ₀ = -0,18 с^-1 под действием вращающего момента и момента сил сопротивления (см. рис. 1):

₀

0

Рис.1

; .

Коэффициент m = 1, коэффициент n = 1,8 из табл.1, рис. 8 из табл. 2 [1].

Исследовать:

1. Влияние шага интегрирования на зависимость угловой скорости от времени.

Выбрать базовое число шагов N_{БАЗ .}

Пределы: 25  N  75.

2. Влияние погрешности начальной угловой скорости на зависимость угловой скорости от времени.

Пределы: ₀ – 0,018 с^-1  ₀  ₀ + 0,018 с^-1.

3. Влияние погрешности изготовления на зависимость угловой скорости от времени:

Пределы: 0,9 м  R  1,1 м.

-4-

2. Математическая постановка задачи

Для определения зависимости угловой скорости от времени необходимо решить дифференциальное уравнение [3]:

(1)

Начальная угловая скорость ₀ = - 0,08 с^-1 .

Ф

2R

2R

орма поперечного сечения тела приведена на рис.2.

0

Рис.2

Момент инерции тела относительно оси 0z определяется выражением

откуда с использованием рис. 2

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела

нелинейное, переменные не разделяются, поэтому для интегрирования рассмотрим численный метод решения задачи – метод Рунге-Кутта.

-5-

3. Метод рунге-кутта

Метод Рунге-Кутта является одним из численных методов, позволяющих получить приближенное решение при любом виде правой части дифференциального уравнения (1)

(2)

Идея метода состоит в разложении решения в ряд Тейлора:

. (3)

Перейдем от непрерывных значений аргумента и функции к дискретным значениям их в некоторых точках. Для этого интервал интегрирования (t_o, t_o+ t_k) разбиваем на отрезки с шагом по времени

, (4)

где N – число разбиений. Тогда при известном значении решения  (t) значение  (t+h) может быть найдено приближенно по формуле (3) с учетом двух членов разложения:

. (5)

Поскольку то получаем расчетную формулу:

(6)

Соотношение (6) является приближенным, его можно получить из точного соотношения

(7)

Действительно, считая производную от угловой скорости постоянной в пределах шага по времени, из (7) получаем расчетную формулу (6).

-6-

Для получения более точных расчетных формул нужно точнее аппроксимировать интеграл в правой части (7). В общем виде приближенное решение имеет вид:

(8)

где P_i – некоторые коэффициенты;

K_i – функции.

При увеличении числа q возрастает точность приближенного решения, однако, с другой стороны, это приводит к увеличению объема вычислений.

В настоящее время наиболее употребительна совокупность функций K_i(h), ссоответствующая q = 4. В этом случае решение уравнения (1) на некотором шаге по времени вычисляется по формуле:

, (9)

где ,

Решение по формуле (9) ищется последовательно в N точках, начиная с точки t = t_o + h. Эта однообразная процедура вычислений легко реализуется на ПЭВМ [3].

-7-