8

Федеральное агентство по образованию и науке РФ

Пермский государственный технический университет

Кафедра теоретической механики Курсовая работа по теоретической механике

Исследование вращательного движения твердого тела

Вариант 08

Выполнил: ст. гр. САД-06-1 А.Н. Золотарев

Проверил: проф. каф. ТМ А.А. Селянинов

Пермь – 2008

Содержание

1. Техническая постановка задачи 3

2. Математическая постановка задачи 4

3. Метод Рунге-Кутта 5

4. Программа для ПЭВМ 7

5. Результаты расчета. Графики 8

6. Выводы 12

7. Литература 12

8. Приложение. Таблицы 14

1. Техническая постановка задачи

Имеется твердое тело, которое вращается относительно неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью под действием вращающего момента и момента сил сопротивления (см. рис. 1):

; ;

Коэффициент = 1,0; коэффициент = 1,8; Из таб. 1 рис. 2, из таб. 2 [1]. Исследовать:

1. Влияние шага интегрирования на зависимость угловой скорости от времени.

Выбрать базовое число шагов _.

Пределы: 25   75.

2. Влияние погрешности начальной угловой скорости на зависимость угловой скорости от времени.

Пределы: – 0,08 с^-1   + 0,08 с^-1.

3. Влияние погрешности изготовления на зависимость угловой скорости от времени:

Пределы: 0,9 м   1,1 м.

2. Математическая постановка задачи

Для определения зависимости угловой скорости от времени необходимо решить дифференциальное уравнение (2.1) [2].

(2.1)

Начальная угловая скорость = – 0,08 с^-1 .

Форма поперечного сечения тела приведена на рис. 2:

Рис. 2

Момент инерции тела относительно оси 0z определяется выражением

откуда с использованием рис. 2

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела

нелинейно, переменные не разделяются, поэтому для интегрирования рассмотрим численный метод решения задачи – метод Рунге-Кутта.

3. Метод рунге-кутта

Метод Рунге-Кутта является одним из численных методов, позволяющих получить приближенное решение при любом виде правой части дифференциального уравнения (2.1)

(3.1)

Идея метода состоит в разложении решения в ряд Тейлора:

. (3.2)

Перейдем от непрерывных значений аргумента и функции к дискретным значениям их в некоторых точках. Для этого интервал интегрирования (t_o, t_o+t_k) разбиваем на отрезки с шагом по времени

, (3.3)

где N – число разбиений. Тогда при известном значении решения , значение может быть найдено приближенно по формуле (3.2) с учетом двух членов разложения:

. (3.4)

Поскольку то получаем расчетную формулу:

(3.5)

Соотношение (3.5) является приближенным, его можно получить из точного соотношения

(3.6)

Действительно, считая производную от угловой скорости постоянной в пределах шага по времени, из (3.6) получаем расчетную формулу (3.5).

Для получения более точных расчетных формул нужно точнее аппроксимировать интеграл в правой части (3.6). В общем виде приближенное решение имеет вид:

(3.7)

где P_i – некоторые коэффициенты;

K_i – функции.

При увеличении числа q возрастает точность приближенного решения, однако, с другой стороны, это приводит к увеличению объема вычислений.

В настоящее время, наиболее употребительна совокупность функций K_i(h), соответствующая q = 4. В этом случае решение уравнения (2.1) на некотором шаге по времени вычисляется по формуле:

, (3.8)

где ,

Решение по формуле (3.8) ищется последовательно в N точках, начиная с точки t = t_o + h. Эта однообразная процедура вычислений легко реализуется на ПЭВМ [2, 3].