3.2. Построение и минимизация первичной

таблицы переходов-выходов.

А. Построение первичной таблицы переходов-выходов.

Первичная таблица содержит столбцы по числу всевозможных комбинаций входных сигналов (приемных элементов)? Число строк зависит от заданных условий работы проектируемого ДУ, каждая строка первичной таблицы переходов-выходов соответствует одному из внутренних состояний ДУ (состояний элементов памяти), В таблице также имеются столбцы (по числу выходов ДУ), в которых указываются значения выходных сигналов (проводимостей цепей исполнительных элементов).

При построении первичной таблицы переходов-выходов надо руководствоваться следующими правилами:

• Каждой строке таблицы соответствует одно устойчивое состояние (устойчивый такт), который будем обозначать цифрой в кружочке (). Цифра устойчивого такта соответствует номеру строки. Неустойчивый такт обозначаем цифрой без кружка;

• При изменении состояний входных сигналов (как правило одновременно изменяется только один сигнал) идет переход вдоль строки к столбцу, отвечающему новому состоянию элементов. В этой строке проставляется номер неустойчивого такта, соответствующий устойчивому такту, к которому должен идти переход. Далее идет вдоль столбца к новой строке с номером, к устойчивому такту ().

• После проставления переходов (номеров тактов), отвечающих правильной последовательности изменения состояния входных сигналов, необходимо отметить все переходы между строками, соответствующие неправильным последовательностям изменения входных сигналов.

• В каждой строке первичной таблицы переходов-выходов в столбцах для выходов проставляются значения выходных сигналов, соответствующих устойчивому такту, расположенному в этой строке.

• В потенциальных автоматах переход из неустойчивого состояния в устойчивое всегда осуществляется при постоянном входном наборе за счет изменения состояний элементов памяти.

Из этого следует, что в первичной таблице устойчивые и неустойчивые состояния, имеющие одинаковые номера, обязательно должны находиться в одном и том же столбце;

• при заполнении первичной таблицы каждый раз при введении в каком-либо столбце нового устойчивого состояния необходимо проанализировать уже введенные в этом столбце состояния и использовать их (осуществить «возврат» к ним), если это не приводит к искажению заданных условий работы автомата (не нарушает последовательности изменения выходных сигналов).

Это позволяет избежать введения так называемых эквивалентных состояний и упрощает первичную таблицу переходов-выходов.

Пример 1. Спроектировать схему управления шаговым искателем (Z). Схема должна иметь входные сигналы «Пуск» (кнопка А) и «Стоп» (кнопка В). Шаговый искатель должен включаться в работу только после нажатия и отпускания кнопки А. Остановка осуществляется нажатием кнопки В. Из словесной формулировки получаем программу работы (табл. 3.1), где а,b– входные сигналы (соответственно «Пуск» и «Стоп»);Z– выходной управляющий сигнал для шагового искателя.

Таблица 3.1

ab	00	10	00	01	00
z	0	0	1	0	0

Видим, что проектируемое ДУ должно иметь память, так как при комбинации входных сигналов 00 значение выхода может быть различным – 0 и 1.

Строим первичную таблицу переходов-выходов (табл. 3.2). В первой клетке (исходное состояние) ставим (1) – устойчивый такт. Далее по программе включается А (а=1), осуществляется переход вдоль первой строки к столбцу «10», ставим такт 2, а от него вдоль столбца переходим к устойчивому такту (2) – строка 2. Далее отпускает А (а=0), осуществляется переход к столбцу 00, ставим такт 3, а затем переходим к устойчивому такту (3) – строка 3. Именно к такту 3, а не к (1), так как значения выходного сигналаZв этих состояниях (00) разные: в строках 1 и 2Z=0, а в строке 3Z=1 (согласно программе работы). Далее вырабатывает В (b=1), осуществляется переход к столбцу «01» (такт 4) и к строке 4 – устойчивый такт (4), при этомZ=0.

Таблица 3.2

N	ab				Z
	00	10	11	01
1	(1)	2	-	4	0
2	3	(2)	-	-	0
3	(3)	2	-	4	1
4	1	-	-	(4)	0

Далее В отпускает (В=0), происходит возврат к устойчивому такту (1), через неустойчивый такт 1 в столбце «00». Именно к (1), так как и состояние входных сигналов, и значение выходного сигнала (Z=0) после выключения В соответствуют строке 1.

Итак, правильная программа выполнена, необходимо в каждой строке рассмотреть неправильные (не по программе) изменения состояний входных сигналов. В строке 1 может сработать не А, а В, тогда идет переход от «00» к «01». Это состояние будет соответствовать такту (4), сработал элемент В (В=1),Z=0, поэтому ставим здесь неустойчивый такт 4. Аналогично в строке 3, в столбце «01» проставляем неустойчивый такт 2.

Заметим, что переход в строках происходит при изменении значения только одного сигнала. В строках 2, 3, 4 кроме правильных могут быть переходы вдоль строк к столбцу «11», но по словесной формулировке такого состояния (нажаты сразу обе кнопки – «Пуск» и «Стоп») быть не может.

Ставим прочерки или оставляем пустые клетки.

Пример 2. Синтезировать дискретное устройство, условия работы которого заданы временной диаграммой, показанной на рис. 3.1. При решении задачи синтеза полагать, что длительность входных сигналов всегда более времени протекания переходных процессов в схеме дискретного устройства.

Из условия видно, что программа работы ДУ детерминированная (строго фиксированная), По заданной временной диаграмме можно построить табл. 3.3, отображающую условия работы заданного ДУ – соответствие комбинаций состояний выходов и входов.

Строим первичную таблицу переходов (табл. 3.4). Первые 4 строки заполняются последовательно. Переход от устойчивого такта 4 при изменении состояния входных сигналов с 10 на 00 должен идти к такту 5, а не к такту 1 (как казалось бы), так как выходной набор должен быть по программе 01, а при такте (1) он равен 00.

Таблица 3.3

x1x2	z1z2
00	00
10	00
11	10
10	11
00	01
01	10
11	10
10	10
00	00

Таблица 3.4

N	x1x2				Z1	Z2
	00	10	11	01
1	(1)	2			0	0
2		(2)	3		0	0
3		4	(3)		1	0
4	5	(4)			1	1
5	(5)			6	0	1
6			7	(6)	1	0
7		8	(7)		1	0
8	1	(8)			1	0

В восьмой строке от устойчивого такта (8) переход идет к такту 1 и далее к такту (1), так как и состояние входных сигналов, и состояние выходных сигналов, требуемых по программе, и первой строки таблицы совпадают.

Б. Минимизация первичной таблицы переходов.

Каждая строка таблицы переходов соответствует конкретному состоянию ДУ, которое определяется состоянием элементом памяти (ЭП). Число строк S2^, где- число элементов памяти. Значит, от числа строк таблицы зависит количество элементов памяти ДУ.

С целью уменьшения числа ЭП желательно иметь таблицы переходов с минимальным числом строк. Число строк первичной таблицы переходов-выходов может быть уменьшено за счет объединения некоторых из них.

Уменьшение числа строк первичной таблицы переходов путем объединения части ее строк называется минимизацией таблицы переходов. Есть два метода минимизации. Рассмотрим наиболее простой из них, а именно минимизация первичной таблицы переходов путем объединения совместимых внутренних состояний.

Под совместимыми внутренними состояниями понимаются такие два внутренних состояния, которым соответствуют строки с непротиворечивым размещением в них цифр, т.е. строки, у которых в одном и том же столбце либо одинаковые цифры, либо в одной строке цифра, в другой – прочерк.

Всевозможные случаи совместимых состояний показаны в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Строка № 1	Строка № 2	Объединенная
()		()
()	-	()
		
	-	

В минимизированной таблице переходов в каждой строке может быть по нескольку устойчивых тактов. При объединении совместимых строк значения выходных сигналов во внимание не принимаются. Заметим, что это справедливо, если синтезируется автомат Мили, функция выходов которого имеет вид: Z(t) =[x(t),y(t)], так как при одном и том же состоянии памятиy(t) различные выходные наборыZ(t)могут быть обеспечены за счет разных входных наборовx(t). Для автомата же Мура, у которогоZ(t) =[y(t)], к непротиворечивым строкам можно отнести только строки с одинаковыми выходными наборами. С целью объединения максимального числа строк первичной таблицы строится диаграмма объединений по следующим правилам:

• с каждой строкой первичной таблицы переходов сопоставляется точка на плоскости с тем же номером;

• производится попарное сравнивание всех строк таблицы, начиная с первой, с целью определения их совместимости. Точки, соответствующие объединяющимся строкам, соединяем линиями;

• выбираются группы точек, которые соответствуют максимальному числу объединяемых строк. Несколько строк (более двух) могут быть объединены в одну группу, если каждая из них соединена линиями со всеми остальными.

Объединенные строки обозначаются буквами a,b,c… (рис. 3.2).

Построим диаграмму объединений для примера 1. (рис. 3.3) и минимизированную таблицу переходов (табл. 3.6), в которой будут лишь 2 строки aиb.

Таблица 3.6

N	ab
	00	10	11	01
a	(1)	2	-	(4)
b	(3)	(2)	-	4

При большом числе строк первичной таблицы переходов-выходов могут быть различные варианты объединения. В любом случае следует стремиться выбрать такой вариант, при котором можно получить максимальное количество объединенных строк.

Построим диаграмму (рис. 3.4) объединений и минимизированную таблицу переходов (табл.3.7) для примера 2, которая содержит три строки.

Таблица 3.7

N	x1x2
	00	10	11	01
a	(1)	(2)	3	-
b	(5)	(4)	(3)	6
c	1	(8)	(7)	(6)

Второй метод минимизации первичной таблицы переходов-выходов заключается в исключении эквивалентных устойчивых состояний.

Два и более устойчивых состояния ДУ называются эквивалентными, если они могут быть объединены в одно состояние без нарушения условий функционирования ДУ. Эквивалентность двух и более устойчивых состояний автомата может быть установлена по его первичной таблице переходов-выходов по следующим правилам:

1. Эквивалентные состояния должны быть расположены в одном и том же столбце первичной таблицы, т.е. им должны соответствовать одинаковые входные наборы.

2. Выходные наборы, соответствующие эквивалентным состояниям, совпадают.

3. Любой последовательности изменений состояний входов ДУ соответствует одна и та же последовательность выходных сигналов, независимо от того, какое из эквивалентных устойчивых состояний взято за исходное. Последний признак означает, что от эквивалентных устойчивых тактов переходы должны идти к одним и тем же номерам состояний (тактов) при любой последовательности изменений входных сигналов, так как при совпадении последовательностей переходов совпадают и выходные последовательности.

При наличии в первичной таблице неопределенных переходов их можно доопределить путем проставления в пустых клетках тактов и тем добиться совпадения выходных последовательностей для устойчивых состояний, удовлетворяющих первым двум признакам.

Из каждой группы эквивалентных состояний по каждому столбцу оставляется только одно состояние. Для этого строки таблицы, соответствующие остальным эквивалентным состояниям, вычеркиваются из таблицы, а номера неустойчивых состояний, совпадающие с номерами исключенных устойчивых состояний, заменяются номерами оставленного устойчивого состояний. Процесс выявления и исключения эквивалентных состояний проводится многократно, до тех пор, пока таковых больше не находится.

Пример 3. Определим эквивалентные состояния ДУ, заданного первичной таблицей переходов – выходов (табл. 3.8).

В столбце, соответствующем входному набору 00 расположены три устойчивых состояния 1, 3 и 6 и всем им соответствует выходной набор 00, т.е. первые два признака эквивалентности выполняются. Проанализируем выполнение третьего признака.

Таблица 3.8

N	x1x2				Выход
	00	10	11	01	Z1	Z2
1	(1)	5		2	0	0
2	3		8	(2)	0	0
3	(3)	4			0	0
4	1	(4)			1	0
5	6	(5)	8		0	0
6	(6)			7	0	0
7	1			(7)	0	1
8		9	(8)	10	0	0
9	1	(9)			0	0
10	1			(10)	0	0

При входном наборе 10 ДУ перейдет в устойчивое состояние 5, если в качестве исходного взять состояние 1, и в устойчивое состояние 4, если в качестве исходного взять состояние 3. При входном наборе 01 ДУ перейдет в устойчивое состояние 2, если в качестве исходного взять состояние 1, и в устойчивое состояние 7, если в качестве исходного взять состояние 6. Таким образом, устойчивое состояние 1 неэквивалентно 3-му и 6-му устойчивым состояниям и из рассмотрения исключается.

Для пары состояний 3 и 6 третий признак также не выполняется, так как для состояния 3 не определен переход при входном наборе 01, а для состояния 6 не определен переход при входном наборе 10. Однако, если произвести доопределение первичной таблицы на указанных переходах и ввести в строке 3 неустойчивое состояние 7 при входном наборе 01 и неустойчивое состояние 4 в строке 6 при входном наборе 10, мы добьемся полной эквивалентности устойчивых состояний 3 и 6. Исключим из таблицы строку 6, а вместо неустойчивого состояния 6 в строке 5 зададим переход в оставшееся эквивалентное состояние 3. Преобразованная таким образом первичная таблица изображена в виде табл. 3.9. Убеждаемся, что больше в исходной таблице эквивалентных устойчивых состояний нет.

Таблица 3.9

N	x1x2				Выход
	00	10	11	01	Z1	Z2
1	(1)	5		2	0	0
2	3		8	(2)	0	0
3	(3)	4			0	0
4	1	(4)			1	0
5	3	(5)	8		0	0
7	1			(7)	0	1
8		9	(8)	10	0	0
9	1	(9)			0	0
10	1			(10)	0	0

Минимизацию первичной таблицы переходов-выходов следует начинать с выявления и исключения эквивалентных состояний а затем переходить к объединению совместимых состояний.

Заметим, что не в очень сложных случаях эквивалентные состояния можно исключить, если при построении первичной таблицы переходов-выходов использовать уже имеющиеся устойчивые состояния в каждом столбце.