2.2.2. Перевод чисел из одной сс в другую

При решении задач с помощью вычислительной техники исходные данные, как правило, задаются в десятичной СС, в этой же СС представляются и результаты, сами же операции выполняются в двоичной СС. Т. к. данные кодируются в двоичной СС, то возникает необходимость перевода чисел из десятичной СС в двоичную и наоборот.

Правило перевода из двоичной СС в десятичнуюможно сформулировать следующим образом: все цифры числа и основание СС заменяются их десятичными эквивалентами; число представляется в виде суммы произведений степеней на значения соответствующих позиций; затем производится арифметический подсчет.

Пример:

Правила перевода чисел из десятичную в двоичную различны для целой и дробной частей числа.

Для перевода целого числа (или целой части смешанного числа) используется алгоритм последовательного деления исходного числа на основание новой СС (т. е. на 2), действия производятся в старой СС (в десятичной). Деление прекращается, когда очередное частное от деления станет равно 0. Остатки от деления, выписанные в обратном порядке, образуют результат.

Пример:

11	2
1	5	2
	1	2	2
		0	1	2
			1	0

Таким образом,

Для перевода дробной части числа используется алгоритм последовательного умножения на основание новой СС (на 2), действия производятся в старой СС (в десятичной), целые части чисел, полученные в результате умножения дают запись результата.

Пример:

0	875
х
	2
1	75
х
	2
1	5
х
	2
1	0

Умножение прекращается, либо когда дробная часть становится равна 0, либо, когда будет получена требуемая точность представления числа.

0	7
х
	2
1	4
х
	2
0	8
х
	2
1	6

. . . .

Аналогично переводятся позиционные числа и с другими основаниями СС.

2.2.3. Смешанные сс

В смешанных СС каждая цифра в СС с основанием Р записывается в виде цифры с основанием Q, (Q<P). Чтобы запись числа в смешанной СС была однозначной, для представления любой цифры исходного числа отводится одно и то же количество разрядов, достаточное для представления любого базисного числа исходной СС.

Пример:

	=	1001	0010		(двоично-десятичная СС)
		9	2	5

Аналогично рассмотренной двоично-десятичной СС можно использовать и другие смешанные СС при различных значениях PиQ(P- старшее основание СС,Q– младшее).

Отдельно рассматривается случай, когда , гдеl– целое положительное число. В этом случае запись числа в смешанной СС совпадает с изображением этого числа в СС с основаниемQ. Например,, т. е. запись шестнадцатеричного числа в смешанной двоично-шестнадцатеричной СС будет тождественна его записи в двоичной СС. Это свойство широко используется на практике для сокращенной записи чисел заданных в СС с небольшим основанием.

Преобразование чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную

Для представления цифры в 16-чной СС понадобится 4 цифры двоичной СС, для представления цифры в 8-ной СС понадобится 3 цифры двоичной СС. Для перевода 8-чного числа в 2-чную СС надо заменить каждую цифру этого числа ее двоичным эквивалентом. Аналогично переводятся числа из 16-ой СС в двоичную.

Аналогично выполняются обратные преобразования

Таблица эквивалентов

Десятичная, Восьмеричная (23), Шестнадцатеричная (24),	Двоичная
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10 (A)	1010
11 (B)	1011
12 (C)	1100
13 (D)	1101
14 (E)	1110
15 (F)	1111

Примеры.

10	2->8	8	2->16	16
46,5	101 110,1	56,4	0010 0111,1000	2Е,8
21,5	010 101,1	25,4	0001 0101,1000	15,8

Аналогично можно выполнять преобразования чисел и для СС с основаниями 3 и 9, Они также связаны соотношением (9=3²)

Десятичная, девятеричная	Троичная
0	00
1	01
2	02
3	10
4	11
5	12
6	20
7	21
8	22

Для представления цифры в 9-ной СС понадобится 2 цифры троичной СС. Для перевода 9-чного числа в 3-чную СС надо заменить каждую цифру этого числа ее троичным эквивалентом.

Пример

9	3
345,3	10 11 12,10