Программирование / си++ / ЛЕКЦИИ АСУ-03 за 1й курс / II cemecTP / Шпоры по матану / 1-5 / Копишпоры1-5
.doc
(1) ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом. Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная от интеграла F(x)=x0xf(t)dt, (x, x0(a,b)) По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x) Доказательство: Дадим аргументу х приращение ∆х так, чтобы х+∆х(a,b). Для приращения ∆F функции F(x) воспользуемся формулой F= xx+x f(t)dt и применим теорему о среднем значении ( Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξ (a,b), что справедливо равенство: baf(x)dx=(b-a)*f() Теорема верна и при b<a.) получим: F= xx+x f(t)dt= f()(x+x-x)= f()x Число заключено между числами х и х+∆х и при стремлении ∆х к нулю ξ стремится к х. Перейдем к вычислению производной F'(x). F'(x)=limx->0(F/x)= limx->0(f()x /x)=lim->xf(x)=f(x) Последнее равенство основано на непрерывности функции f(x) в любой точке х промежутка (a,b). Следствие: Всякая функция f(x), непрерывная на промежутке (a,b), имеет первообразную на этом промежутке. Действительно, первообразной для такой функции является функция F(x)=x0xf(t)dt, (x, x0(a,b)) Предыдущая теорема устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом. Можно написать: f(x)dx=x0xf(t)dt+C Формула Ньютона-Лейбница. Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1): axf(t)dt=F(x)+C ( в качестве числа х0 взято число а). В этом тождестве положим х=а и получим , 0=aaf(t)dt=F(a)+C Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид: axf(t)dt=F(x)-F(a) Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница: abf(t)dt=F(b)-F(a) Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки: F(b)-F(a)=F(t)|ab |
(2) ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1) baf(x)dx= f[φ(t)]φ'(t)dt Справедливо при условиях: 1. φ(α) = а, (β) = b, 2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β], 3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β]. Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C (правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница abf(x)dx=F(b)-F(a) Получаем f[φ(t)]φ'(t)dt=F[φ()]-F[φ()]=F(b)-F(a) (по условию 1) правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.
|
(3) ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Теор: Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда справедлива формула abu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|ab–abv(x)u'(x)dx [1]. - формула интегрирования по частям для определенного интеграла и записывают её еще в виде abudv=uv|ab–abvdu. Док: заметим, что функция u(x) и v(x) явл. первообразной для функции (uv)'=u'v+uv', причем эта функция непрерывна. => ab(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))dx= (u(x)v(x))|ab [2]. Т.к. u'(x)v(x), u(x)v'(x) - непрерывные на [a,b] функции, то определённые интегралы от этих функций сущ. и формулу [2] можно записать в форме [1]. Теор. док. |
(4)ПРИЛОЖЕНИЕ ОПР. ИН-ЛА К ВЫЧ-Ю ПЛОЩАДИ В ДЕКАРТОВЫХ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ, ПРИ ПАРАМЕТРИЧ. ЗАДАНИИ ГРАНИЦЫ КРИВОЛИН. ТРАПЕЕЦИИ В прямоуг. координатах Площадь криволин. трапеции, огранич-й кривой y=f(x), осью Ох и прямыми x=a и x=b равна Q=abf(x)dx. Если f(x)0, то определенный интеграл интеграл также 0. По абс. велечине он равен площади соотв. криволин. трапец-ии -Q=abf(x)dx. Если f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a,b], то интеграл по всему отрезку разбиваем на сумму инт-лов по частичным отрезкам. Инт-л будет положит. На тех отрезках, где f(x)0, и отрицат. где f(x)0. Для того чтобы получит сумму площадей, нужно найти сумму абс. велечин инт-лов по указанным выше отрезкам или вычислить инт-л: Q=ab|f(x)|dx В параметрич. форме x=(t), y=(t) (3) где <t< и ()=a, ()=b. Пусть ур-я (3) опред-ют нек-ю ф-ию y=f(x) на [a,b], и => площадь криволин. трап-ии может быть вычислена по форм-е: Q=abf(x)dx=abydx. Сделаем замену: x=(t), dx=’(t)dt. Из (3) получим: y=f(x) = f[(t)]=(t). => Q=(t)’(t)dt В полярных координатах пусть в полярн. сис-ме коорд-т имеем кривую, зад-ю ур-ем: =f(), где f()-непрерывн. Ф-ия при . Определим площ. сек-ра ОАВ, огранич. кривой =f() и радиус-векторами = и =. Разобьем данную область радиус-векторами =0, =1,..., n= на n частей. Обозначим через 1,...,n углы между проведенными радиус-векторами. Обозначим через i длину рад-вектора, соотв. какому-нибудь углу ~i заключ. между i-1 и i. Рассм. круговой сектор с рад. i и центр-м углом i Его полщ. Равна Qi=1/2i2i Сумма Qn=1/2i2 i=1/2[f(~i)]2 i даст площ. «ступенч.» сек-ра. Т.к. эта сумма явл. интегр. Суммой для ф-ии 2=[f()]2 на отр. , то ее предел при maxi0 есть опр-й инт-л 1/22d Он не зависит то того, какой рад-век-р i мы возьмем внутри угла i Этот предел и есть искомая площадь.
|
(5) ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ ПРИ РАЗН. СПОС. ЗАДАНИЯ
Длина дуги кривой: рассмотрим сначала кривую L, заданную в декартовых координатах уравнением y=(x), axb (рис.1). Будем считать, что функция (x) имеет непрерывную производную на отрезке [a,b]. Разобьём отрезок [a,b] несколько частей точками xi:a=x0<x1<... <xn=b. Соответствующие точки на кривой L обозначим буквами M0, M1,..., Mn. Соединим точки M0, M1,..., Mn отрезками. Получим ломаную Ln. Обозначим длину этой ломаной Ln. Назовём длиной кривой L предел длин ломаных при x0, где x=max1inxi, а xi=xi+1–xi, l=limx0ln. Если указанный предел существует, то кривая L наз. спрямляемой. Покажем, что при сделанных предположениях (функция (x) имеет непрерывную производную) Кривая L явл. спрямляемой.Вычислим длину участка ломаной li, соответствующ. отрезку [xi-1, xi] оси Ox. По теореме Пифагора li=[xi2+yi2] Приращение функции yi можно представить по теореме Лагранжа в виде: yi=(xi)–(xi-1)='(i)(xi–xi-1)='(i)xi, где i некоторая точка интервала (xi-1,xi). Поэтому длина ломаной ln выражается формулой ln=[xi2+('(i)xi)2] =[1+('(i))2]xi. Последняя сумма явл. интегральной суммой для функции [1+('(x))2]. Так как эта функция по условию непрерывна, то определенный интеграл от функции [1+('(x))2] сущ. и, =>, существует предел длин ломаных. Т.о., кривая L явл. спрямляемой и её длина l может быть вычислена по формуле l=ab[1+('(x))2]dx. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически: очень часто кривую L удобно задать параметрически x=(t), y=(t), t1tt2 Пример: часть окружности x2+y2=1, расположенную в верхней полуплоскости можно задать явно: y=[1–x2], |x|1, а можно задать параметрически: x=cos t, y=sin t, 0t. Теор: Пусть кривая L задана параметрически: x=(t) непрерывные производные на отрезке [t1,t2]. Тогда это кривая спрямляема и её длина l может быть вычислена по формуле: l=t1t2[('(t))2+('(t))2)]dx Док: Проведём рассуждения для случая, когда '(t)0, t[t1,t2]. Для определенности считаем, что '(t)>0. В этом случае существует обратная функция t=-1(x), x[a,b], где a=(t1), b=(t2). Переменную y можно считать сложной функцией переменной x: y=(x)= (-1(x)). Применим результат предыдущего пункта. l=ab[1+('(x))2]dx=ab[1+((-1(x))2((-1(x)')2]dx= =t1t2[1+('(t)/'(t))2]dt=t1t2[('(t))2+('(t))2]dt. При преобразованиях интеграла сделана замена переменной x=(t). Теор. док. Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах: пусть кривая L задана в полярных координатах уравнением r=(), 12, где функция () имеет непрерывную производную на отрезке [1,2]. Тогда кривая L спрямляема и её длина l может быть вычислена по формуле l=12[2()+('())2]d [1]. Док. формулы [1] основано на использовании формулы для вычисления длины дуги, заданной параметрически. В качестве параметра в этом случае выступает переменная : x=rcos =()cos , y=rsin =()sin , 12, Подставляя выражения для x() и y() в соответствующую формулу и проделав все нужные выкладки, получаем формулу [1]. |