4.6. Функционалы, зависящие от производных высших порядков

Постановка задачи:

x₁

I =  f x, y, y, y,  , y⁽ⁿ⁾) dx → min,

x₀

граничные условия: y( x₀ ) = y₀₀, y( x₁ ) = y₁₀ ,

y ( x₀ ) = y₀₁, y ( x₁) = y₁₁, (4.27)



y^(n-1)( x₀ ) = y_{0 n-1}, y^(п-1)( x₁ ) = y_{1 n –1}.

Найти: функцию у(х), доставляющую экстремум функционалу .

Поиск решения будем вести на примере следующей задачи:

х₁

I =  f (x, y, y, y) dx → min,

х₀

y( x₀ ) = y₀₀, y( x₁ ) = y₁₀, y( x₀ ) = y₀₁, y (x₁ ) = y₁₁.

Предположим, что экстремум функционала достигается при функции у( х). Дадим функции приращение  у, тогда у получит приращение  у, у – приращение  у.

Наложим условие  у =  у = 0 в точках х₀ и х₁. Далее, аналогично функционалам, зависящим от производных первого порядка:

x₁ x₁ x₁

I =  f_y  y dx +  f _y  y dx +  f _y  y dx,

x₁ x₀ x₁ x₀ x₀

 f_y  y dx = -  ( f_y)_х  y dx исходя из (4.5).

x₀ x₁ x₀

Проинтегрируем  f _y  y dx по частям:

x₀

 ydx = {u = f _y , du = ( f _y )_x dx, dv =  ydx =

= [(d²y / dx²)₂ - (d²y / dx²)₁] dx = [d(y₂ - y₁)/dx] dx = ( y )_x dx =

х₁

= d( y ), v =  y } = f _y y -  ( f _y )_x   y dx,

x₀

х₁

f_y  y = 0, т.к.  y = 0 в точках х₀ и х₁.

х₀

-f_y )_x   y dx = { u = ( f_y )_x , du = ( f_y )_xx  dx, dv =  y dx =

х₁

= d( y), v =  y } = - ( f_y )_x  y +  ( f_y)_xx   ydx ,

x₀

x₁

f_y  y = 0, т.к.  y = 0 в точках х₀ и х₁.

x₀

x₁ x₁

Таким образом,  f_y  y dx =  ( f_y)_xx   y dx,

x₀ x₀

x₁ x₁ x₁ X

I =  f_y  y dx +  f _y  y dx +  f _y  y dx =  ( f_y - ( f_y )_x +( f_y )_xx )  ydx,

x₀ x₀ x₀ x₀

x₁

 I =  ( f_y - ( f_y )_x +( f_y )_xx )  y dx = 0,

x₀

 I = 0, если функция у(х) доставляет экстремум функционалу. Так как  у ≠ 0, то f_y - ( f_y )_x +( f_y)_xx = 0 – формула Эйлера – Пуассона.

Если функционал зависит от производной n-й степени, то формула Эйлера – Пуассона примет следующий вид:

f_y - ( f_y )_x + ( f_y)_xx -  + (- 1)ⁿ dⁿ( f _{у (n)} ) / dxⁿ = 0. (4.28)

Условия Лежандра для определения типа экстремума: если на интервале интегрирования

f_{у (n) у (n)}  0, то у(х) доставляет максимум функционалу;

f_{у (n) у (n)}  0, то у(х) доставляет минимум функционалу;

f_{у (n) у (n)} = 0, то требуются дополнительные исследования.

Пример 4.8.

₁

I =  (240ху - y ²) dx, y(0) = у(0) = 0, y(1) = 1, у(1) = 6.

⁰

Решение

Запишем уравнение Эйлера – Пуассона:

f_y - ( f_y )_x + (f_y)_xx = 0,

f = 240 ху - y ², f_y = 240 х, f _y = 0, f _y = - 2 у, ( f_y)_xx = -2 у^IY,

240 x – 2 у^IY = 0,

у^IY = 120 x,

y = 60 x² + k₁,

y = 20 x³ + k₁ x + k₂,

y = 5 x⁴ + x² k₁ / 2 + k₂ x + k₃,

y = x⁵ + x³ k₁ / 6 + x² k₂ / 2 + k₃ x + k₄ .

Подставив в эти выражения граничные условия, получим искомую функцию y = x⁵ + x³ – x².

Определяем тип экстремума: f_{y y} = (- 2y )_y = -2 < 0, следовательно, найденная функция доставляет функционалу максимум.