76

Составим симплекс-таблицу:

	х1	х2	1	2	v1	v2
w3	2	-2	1	-1	-1	0	2
w4	-2	4	1	2	0	-1	6
w1	1	1	0	0	0	0	2
w2	-1	2	0	0	0	0	2
	0	-2	-2	-1	1	1	-8

При переходе от одной симплекс-таблицы к другой необходимо проверять выполнение ограничений-равенств. В данном случае, ₁ и ₂ нельзя переводить из свободных в базисные.

Решение заканчивается, когда w₃ = w₄ = 0 и в правом нижнем углу таблицы стоит 0.

Ответ: х₁ = 0,8, х₂ = 1,2 .

3.7. Метод условного градиента

Этот метод применяется, когда ограничения линейные и могут иметь вид как равенств, так и неравенств, а целевая функция нелинейная. Метод относится к классу итерационных.

Рассмотрим сущность метода на примере функции двух переменных (рис. 3.7).

grad f ()

x₂

ЦФ

x₁

Рис. 3.7. Метод условного градиента

Пусть – приближение к экстремуму на i-м шаге. В точке находим градиент. На этом шаге целевую функцию заменяем новой функцией, коэффициентами которой являются координаты вектора градиента в точке , таким образом, получаем линейную целевую функцию. Решив задачу линейного программирования в точке, получим точку. Затем делаем шаг в направлении отрезка – получаем новую точку .

Постановка задачи:

1. f (x₁ , x₂ , , x_n )  min(max).

2. g_i (x₁ , x₂ , , x_n)  0 , i = ,

x₁ , x₂ , , x_n  0. (3.24)

3. = (x₁⁰ , x₂⁰ , , x_n⁰) – начальная точка приближения к экстремуму.

4.  – точность нахождения экстремума.

Алгоритм метода (рассматривается для i-го шага):

1. Находим grad f = ( f /  x₁ ,  f /  x₂ , ,  f /  x_n).

2. Составляем вспомогательную функцию Z:

Z = x₁   f /  x₁ +  + x_n  f /  x _{n .} (3.25)

3. Решаем задачу линейного программирования:

Zmin (max)

g_i (x₁ , x₂ , , x_n )  0 , i = , (3.26)

x₁ , x₂ , , x _n  0 .

Положим, решением задачи линейного программирования является вектор: = (z₁ⁱ , z ₂ⁱ , , z _n ⁱ ), где z_jⁱ – значения переменных x_j на i-м шаге приближения к экстремуму (решение задачи (3.26)).

4. Находим новую точку приближения к экстремуму:

= +(-).

x₁ⁱ⁺¹ = x₁ⁱ + (z₁ⁱ - x₁ⁱ ),

 (3.27)

x_nⁱ⁺¹ = x_nⁱ + (z_nⁱ - x_nⁱ ).

5. Выбираем шаг .

Возможны два варианта:

- шаг фиксирован (не изменяется на протяжении всего решения),

- выбор шага аналогичен выбору в методе наискорейшего спуска.

6. Проверяем критерии окончания счета. Используются те же критерии, что и в задачах на поиск безусловного экстремума.

Пример 3.12.

f(x₁, x₂)= 2x₁ + 4x₂ - x₁² - 2x₂²  max ,

x₁ + 2x₂  8,

2x₁ - x₂  12,

x₁ , x₂  0.

= (0, 0), = 0,01.

Решение:

grad f(x₁, x₂) = ( f / x₁ ,  f / x₂ ) = (2 - 2x₁ , 4 - 4x₂),

Z = x₁   f / x₁ + x₂  f / x₂ ,

х₁=0, х₂=0 х₁=0, х₂=0

Z = 2x₁ + 4x₂  max,

x₁+ 2x₂  8,

2x₁ - x₂  12,

x₁ , x₂  0.

Решив эту задачу линейного программирования, получаем = (0, 4).

Далее находим выражение для подсчета координат новой точки приближения к экстремуму:

x₁¹ = x₁⁰ + ₁(z₁⁰ - x₁⁰ ) = 0 + ₁ 0 =0 ,

x₂¹ = x₂⁰ + ₁(z₂⁰ - x₂⁰ ) = 0 + ₁ 4 = 4₁ .

Для нахождения величины шага подставим x₁¹ и x₂¹ в функцию f:

f (₁) = 16₁ - 32₁²,

 f /₁ = 16 - 64₁ = 0, ₁ = 0,25,

x₁¹ = 0, x₂¹ = 4  0,25 = 1 .

Проверка критерия окончания счета: f () -f ()= 2 > , следовательно, требуется выполнить еще шаг.