2.6. Алгоритм двойственного симплекс метода

1. Составление симплекс-таблицы как для обычного симплекс-метода.

2. Выбор разрешающей строки: среди отрицательных b_i выбирают максимальный по модулю элемент.

3. Выбор разрешающего столбца: находят отношения коэффициентов целевой функции к отрицательным коэффициентам разрешающей строки и выбирают минимальное по модулю отношение.

4. Переход к новой симплекс-таблице: осуществляют аналогично обычному переходу в симплекс-методе.

5.Окончание решения, когда все b_i не отрицательны.

Пример 2.5.

x₁ + x₃  1,

x₁ + x₂ - x₃  4,

x₁, x₂ , x₃  0.

Q = 10 x₁ + 10 x₂ + 14 x₃  min .

Решение

1. Вводим искусственные переменные:

x₁ + x₃ - x₄ = 1,

x₁ + x₂ - x₃ - x₅ = 4.

2. Меняем знак:

-x₁ - x₃ + x₄ = -1

-x₁ - x₂ + x₃ + x₅ = -4 .

3. Составляем симплекс-таблицу:

	1	2	3
4	-1	0	-1	-1
5	-1	-1	1	-4		разрешающая строка
	10	10	14	0

разрешающий столбец

4. Получаем новую симплекс-таблицу:

	5	2	3
4	-1	1	0	3
1	-1	1	1	4
	10	0	4	-40

Правые части ограничений положительны, следовательно найдено оптимальное решение.

Ответ: x₁ = 4, x₂ = 0, x₃ = 0, x₄ = 3, x₅ = 0, Q _min = 40.

2.7. Целочисленное линейное программирование

К задачам целочисленного линейного программирования относятся такие задачи линейного программирования, в которых имеется дополнительное ограничение: все переменные – целого типа.

Область допустимых решений такой задачи – выпуклый многогранник, стороны которого проходят по координатной сетке с единичным шагом.

Если задачу целочисленного линейного программирования решить симплекс-методом, получить нецелочисленное решение, которое затем округлить до целочисленного, то решение может быть не оптимальным. Следовательно, требуются специальные методы решения таких задач.

Рассмотрим один из таких методов – метод сечения Гомори.

Сущность метода:

1. Решается задача линейного программирования без требования целочисленности. Получается решение:

x_i = x_i^, i = 1, n.

2. Полученное решение проверяется на целочисленность. Если x_i^– целые числа, то задача решена, если нет – выполняются следующие действия:

– от допустимого многогранника отсекается часть площади; точка с координатами x_i^ должна попасть в отсекаемую область (рис. 2.2) (математически это отсечение обозначает введение дополнительного ограничения);

– решается задача с количеством ограничений, увеличенным на единицу.

х₂

х_i^

х₁

Рис. 2.2. Метод сечения Гомори

Получение дополнительного ограничения.

Введем следующие обозначения: Х  – целая часть Х, Х   Х .

Например, 4,2 = 4, -4,2 = -5.

Х  - дробная часть Х, Х  = Х - Х , Х  0.

Предположим, имеется задача линейного программирования, приведенная к каноническому виду:

Q = P₁ x₁ + P₂ x₂ + _ + P_n x_n  min,

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + + a_1n x_n + x_n+1 = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + + a_2n x_n + x_n+2 = b₂,

 (2.15)

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + + a_mn x_n + x_n+m = b_m,

х _i  0.

Выразим базисные переменные через свободные:

_n

x_n+i = b_i -  a_ij x_j , i = 1,  , m . (2.16)

^j=1

В этом выражении х_i должны быть целыми. Преобразуем (2.16):

_{n n n n}

x_n+i = b_i + b_i -  a_ij x_j -  a_ijx_j = b_i -  a_ij x_j + b_i -  a_ijx_j, (2.17)

^{j=1 j=1 j=1 j=1}

L₁ L₂

L₁ всегда целочисленное, L₂ в общем случае может быть не целочисленным, но для данной задачи L₂ должно принимать следующие значения: 0, -1, -2,  , т. е.

L₂  0, (2.18)

_n

b_i -  a_ijx_j  0. (2.19)

^j=1

Преобразуем ограничения-неравенства (2.19) в ограничения-равенства:

_n

x_l -  a_ijx_j = -b_i. (2.20)

^j=1

Последнее ограничение и является искомым дополнительным ограничением. В качестве l-й берется та строка симплекс-таблицы, которая имеет максимальную дробную часть коэффициента b_i.