2.4.4. Алгоритм решения злп при помощи симплекс-метода

1. Задача приводится к каноническому виду.

Пусть требуется решить следующую задачу линейного программирования:

Q = Q₀ + р₃ x₃ + р₄ x₄  min,

x₁ + a₁₃ x₃ + a₁₄ x₄ = b₁,

x₂ + a₂₃ x₃ + a₂₄ x₄ = b₂,

x₁,x₂ ,, x_n  0 .

Данная задача уже приведена к каноническому виду (приведение ЗЛП к каноническому виду рассмотрено ниже). Составляется симплекс-таблица, соответствующая каноническому виду:

	3 4
1 2	а13 а14 а23 а24	в1 в2
	р3 р4	-Q0

2. Находятся координаты вершины, соответствующей каноническому виду.

3. Анализируется целевая функция в вершине, т.е. выясняется, оптимальна ЦФ в данной вершине или нет.

Q = Q₀ + р₃ x₃ + р₄ x₄ ( Например, Q = 10 – 4 x₃ + 5 x₄ ).

Если среди коэффициентов целевой функции имеется хотя бы один отрицательный, то целевая функция в этой вершине не оптимальна.

Если все коэффициенты ЦФ неотрицательны, но имеется хотя бы один нулевой, то решение оптимально, но не единственно.

Если все коэффициенты ЦФ положительны, то решение оптимально и единственно.

4. В случае неоптимальности осуществляется переход к другой вершине.

Для этого одна переменная из подмножества свободных меняется с одной переменной из подмножества базисных.

В качестве свободной переменной, переводимой в базисную, выбирается та, которая в наибольшей степени уменьшает целевую функцию (она имеет максимальный по модулю отрицательный коэффициент целевой функции).

Столбецсимплекс-таблицы, в котором находится свободная переменная, переводимая в базисную, называетсяразрешающим.

Пусть в рассматриваемой задаче р₃ – максимальный по модулю отрицательный коэффициент целевой функции, тогда столбеца₁₃, а₂₃– разрешающий, т.е. в новой симплекс-таблицеx₃будет базисной переменной.

Для выбора базисной переменной, переводимой в свободную, находят отношения правых частей ограничений к положительным коэффициентам разрешающего столбца и выбирают минимальное отношение.

Строка симплекс-таблицы, в которой находится минимальное отношение, называется разрешающей. В этой строке расположена базисная переменная, переводимая в свободную.

Пусть

 , причема₁₃  0 , а₂₃  0,

b₁ b₂

а₁₃ а₂₃

тогда строка (2, а₂₃, а₂₄ , в₂) – разрешающая.

Элемент, стоящий в разрешающей строке и разрешающем столбце, называется разрешающим. а₂₃ – разрешающий элемент.

5. Выбранные свободные и базисные переменные (находящиеся в разрешающих строке и столбце) меняются местами в симплекс-таблице.

6. Коэффициенты в симплекс-таблице пересчитываются.

Коэффициенты второго ограничения (разрешающая строка симплекс-таблицы) делятся на разрешающий элемент:

x1	x2	x3	x4	в
1	0	а13	а14	в1	(I )
0	1/ а23	а23 / а23 =1	а24 / а23	в2 / а23	(I I )

Элементы первой строки симплекс-таблицы пересчитываются следующим образом: из коэффициентов первого ограничения вычитаются соответствующие вновь полученные коэффициенты второго ограничения, помноженные на а₁₃:

x1	x2	x3	х4	в
1	- а13 / а23	0	а14 - а13 а24 / а23	в1 - а13 в2 / а23	(I - а13 I I )
0	1/ а23	1	а24 / а23	в2 / а23	(I I )

Пересчитывается целевая функция (из нее исключается x₃):

Q = Q₀ + р₃ x₃ + р₄ x₄ = Q₀ + р₄ x₄ + р₃ (в₂ / а₂₃ - x₂ / а₂₃ - x₄ а₂₄ / а₂₃) =

= Q₀ + р₃ в₂ / а₂₃ - (р₃ / а₂₃ ) x₂ + (р₄ - р₃ а₂₄ / а₂₃) x₄.

Составляется новая симплекс-таблица:

	2	4
1	- а13 / а23	а14 - а13 а24 / а23	в1 - а13 в2 / а23
3	1/а23	а24 / а23	в2 / а23
	- р3 / а23	р4 - р3 а24 / а23	- Q0 - р3 в2 / а23

Введем следующие обозначения:

а_{i j} – разрешающий элемент, стоящий в старой симплекс-таблице;

â_{i j} – элемент, стоящий на том же месте в новой симплекс-таблице (пересчитанный разрешающий элемент);

а_{i j} – разрешающая строка, j = 1,, m;

а_ij – разрешающий столбец , i = 1,, n.

Тогда формулы для пересчета будут иметь следующий вид. Пересчитанный разрешающий элемент равен единице, деленной на разрешающий элемент старой таблицы.

â_{i j} = 1/ а_{i j}.

Элементы новой разрешающей строки, находят как произведение пересчитанного разрешающего элемента и соответствующих элементов старой разрешающей строки.

â_ij = â_{i j}  а_{i j} , j = 1,, m.

Новый разрешающий столбец получают путем умножения элементов старого разрешающего столбца на пересчитанный разрешающий элемент, взятый с обратным знаком.

â_ij = - â_{i j}  а_ij , i = 1,, n. (2.7)

Остальные столбцы рассчитываются по формуле

â_ij = а_ij - â_{i j} а_ij , i = 1,, n , j = 1,, m.

Для нахождения элементов нового столбца из старого столбца вычитают произведение элемента, уже стоящего в новом столбце, и старого разрешающего столбца.

Пример. 2.3.

Q = 8 x₁ + 12 x₂  max,

x₁ + 2 x₂  220 ,

2 x₁ + x₂  260 , (2.8)

4 x₁ + 5 x₂  640 ,

x₁, x₂  0 .

Решение

1. Приводим задачу к каноническому виду путем введения искусственных переменных:

x₁ + 2x₂ + x₃ = 220,

2 x₁ + x₂ + x₄ = 260, (2.9)

4 x₁ + 5 x₂ + x₅ = 640,

G = -8 x₁ -12 x₂  min.

2. Составляем симплекс-таблицу:

	1			2
3	1	2			220				разрешающая строка
4	2		1		260
5	4		5		640
	- 8			-12	0

разрешающий столбец

Так как имеются отрицательные коэффициенты целевой функции, то вершина, которой соответствует симплекс-таблица, не оптимальна. Максимальный по модулю отрицательный коэффициент ЦФ – (-12), следовательно, второй столбец является разрешающим.

Для определения разрешающей строки находим отношения правых частей ограничений к положительным коэффициентам разрешающего столбца и выбираем минимальное отношение:

220/2 = 110,

260/1 = 260,

640/5 = 128.

3. Составляем новую симплекс-таблицу.

Разрешающий элемент равен 2.

Новый разрешающий элемент: 1 : 2 = 0,5.

Новая разрешающая строка: 1 0,5 = 0,5; 2200,5 = 110.

Новый разрешающий столбец: 1 (-0,5) = -0,5; 5(-0,5) = -2,5; -12(-0,5) = 6.

Элементы других столбцов:

2		1		1,5		260		1		150
4	-0,5	5	=	1,5		640	110	5	=	90
-8		-12		-2		0		-12		1320

Новая симплекс-таблица:

	1	3
2	0,5	0,5	110
4	1,5	-0,5	150
5	1,5	-2,5	90				– разрешающая строка
	-2	6	1320

разрешающий столбец

Как видим, полученная вершина не оптимальна и требуется перейти к следующей вершине.

4. Составляем следующую симплекс-таблицу:

	5	3
2	-1/3	4/3	80
4	-1	2	60
1	2/3	-5/3	60
	4/3	8/3	1440

Все коэффициенты целевой функции положительны, следовательно, найдено оптимальное и единственное решение задачи.

Ответ: координаты вершины (x₁ = 60, x₂ = 80, x₃ = 0, x₄ = 60, x₅ = 0),

G _min = -1440, Q_max = 1440.