2.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод является универсальным методом. Рассмотрим основные понятия симплекс-метода.

2.4.1. Канонический вид задачи

Рассмотрим пример 2.1.

Q = 10 – x₁ – x₂  min,

3 x₁ + 2 x₂ + x₃ = 10,

4 x₁ + 5 x₂ + x₄ = 20, (2.4)

x₁ + 7 x₂ + x₅ = 45,

x₁ ,  , x₅  0.

Канонический вид задачи должен удовлетворять следующим условиям:

1. Количество переменных (n) не меньше количества ограничений (m).

2. Ограничения имеют вид равенств.

3. Среди n переменных имеются такие m переменных, которые удовлетворяют условию: коэффициент при этой переменной в одном ограничении равен единице, в остальных – нулю. Эти переменные называют базисными (x₃ , x₄ , x₅ - базисные переменные), остальные (n - m) переменные – свободными.

4. Правые части ограничений неотрицательны.

5. Целевая функция выражена через свободные переменные и минимизируется.

Каждому каноническому виду соответствует вершина допустимого многогранника.

2.4.2. Симплекс-таблица, соответствующая каноническому виду

Каждому каноническому виду поставлена в соответствие симплекс-таблица. В таблице для (2.4) левый столбец – номера базисных переменных; верхняя строка – номера свободных переменных; правый столбец – правые части ограничений; нижняя строка (кроме крайнего правого элемента) – коэффициенты целевой функции; элемент, стоящий справа в нижней строке – значение (- Q₀), где Q₀ – свободный член целевой функции; внутреннее пространство таблицы – коэффициенты при свободных переменных.

1 2

3 3 2 10

4 4 5 20

5 1 7 45

_{-1 -1 -10}

2.4.3. Нахождение координат вершины допустимого многогранника по каноническому виду (по симплекс-таблице)

Задача линейного программирования может иметь столько канонических видов, сколько вершин у допустимого многогранника.

Для определения координат вершины допустимого многогранника свободные переменные приравниваются к нулю, базисные переменные – правым частям. Целевая функция в данной вершине равна (-Q₀ ).

Для приведенной в подразделе 2.4.2 симплекс-таблицы

x₃ = 10, x₄ = 20, x₅ = 45, x₁ = x₂ = 0, Q = 10.

Пример 2.2.

Q = x₁ + x₂  max ,

x₁  10,

x₁ + 2 x₂  20, (2.5)

x₁, x₂  0.

Для приведения задачи к каноническому виду добавим в первое ограничение переменную x₃, во второе ограничение – переменную x₄, целевую функцию помножим на -1 :

x₁ + x₃ = 10,

x₁ + 2 x₂ + x₄ = 20, (2.6)

G = -x₁ - x₂  min ,

где х₃ , x₄ – базисные переменные; х₁ , x₂ – свободные переменные.

Этому каноническому виду соответствует вершина:

x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 10, x₄ = 20, G = Q = 0.

Составим таблицу коэффициентов при переменных в ограничениях:

х1	x2	x3	x4	b
1	0	1	0	10
1	2	0	1	20

Поделим коэффициенты второй строки этой таблицы на 2:

х1	x2	x3	x4	b
1	0	1	0	10
0,5	1	0	0,5	10

Как видим, для второй таблицы базисными являются переменные x₂, x₃, а ограничения примут вид

x₁ + x₃ = 10,

0,5 x₁ + x₂ + 0,5 x₄ = 10.

Так как переменная x₂ стала базисной, ее необходимо исключить из целевой функции:

G = - x₁ - x₂ = -x₁ - (10 - 0,5 x₁ - 0,5 x₄) = - 10 - 0,5 x₁ + 0,5 x₄.

Соответствующая вершина имеет следующие координаты:

x₁ = 0, x₄ = 0, x₂ = 10, x₃ = 10, G = -10 (Q = 10).

Сущность симплекс метода – это направленный перебор вершин допустимого многогранника и нахождение той вершины, где целевая функция минимальна.