2. Линейное программирование

2.1. Стандартный вид задачи линейного программирования (злп)

Целевая функция минимизируется, ограничения имеют вид равенств:

Q = P₁ x₁ + P₂ x₂ + _ + P_n x_n  min;

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + + a_2n x_n = b₂,

 (2.1)

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + + a_mn x_n = b_m,

x₁, x₂ ,, x_n  0 . {Переменные в задачах линейного

программирования не отрицательны !}

Здесь a_ij , b_i , P_i – постоянные коэффициенты.

В этих задачах количество переменных больше или равно количеству ограничений – равенств .

n  m

Если n  m, то область допустимых решений – точка,

n  m, то область допустимых решений – многогранник,

n  m, то (m - n) ограничений линейно зависимы и их можно исключить.

2.2. Способы приведения задачи линейного программирования к стандартному виду

Случай 1. Исходные условия задачи: целевая функция минимизируется, ограничения представляют систему неравенств вида “меньше или равно”.

Для приведения задачи к стандартному виду вводят искусственные переменные x_n+1, x_n+2 , , x_n+m. Эти искусственные переменные прибавляют к ограничениям:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + + a_1nx_n + x_n+1 = b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + + a_2nx_n + x_n+2 = b₂,



a_m1x₁ + a_m2x₂ + + a_mnx_n + x_n+m = b_m, (2.2)

x₁, x₂ ,, x_n  0

x_n+1 ,x_n+2 ,, x_n+m  0.

Полученная задача тождественна исходной. Действительно, убрав искусственные переменные, получим левые части ограничений  b_i.

Случай 2. Исходные условия задачи: целевая функция минимизируется, ограничения имеют вид неравенств типа “больше или равно”.

Аналогично предыдущему случаю вводятся искусственные переменные, но эти переменные вычитаются из левых частей ограничений.

Случай 3. Исходные условия задачи: целевая функция максимизируется, ограничения имеют вид равенств.

Для приведения задачи к стандартному виду (2.1) сменим целевую функцию

Q = P₁ x₁+ P₂ x₂ + _ + P_n x_n  max

на целевую функцию G, все коэффициенты которой помножены на -1:

G = -P₁ x₁ - P₂ x₂ - _ - P_n x_n  min.

Полученная задача тождественна исходной.

2.3. Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод применяется для решения задач небольшой размерности (количество переменных равно двум). Рассмотрим метод на примере решения следующей задачи:

Q = x₁ + x₂  max;

x₁  10 ,

x₁ + 2 x₂  20 , ( 2.3)

x₁ , x₂  0 .

Способ 1.

1. Заменяем ограничения-неравенства ограничениями-равенствами:

x₁ = 10,

x₁ + 2x₂ = 20,

x₁ = x₂ = 0.

2. Строим графики полученных функций (рис. 2.1).

Х₂

С

10 Х₁=10

Q = 0 Область А

допустимых Х₁ + 2Х₂ = 20

решений

В

0 10 Х₁

Q = max

Рис. 2.1. Графический метод решения ЗЛП

3. Находим область допустимых решений (область, где выполняются все ограничения).

4. Строим график целевой функции при каком-либо значении правой части:

Q = x₁ + x₂ = 0,

x₂ = - x₁.

5. График целевой функции перемещаем параллельно его начальному положению в сторону роста (уменьшения при Q  min) целевой функции до касания с границей области допустимых решений.

Граничная точка (или отрезок прямой) является решением задачи линейного программирования.

6. В ответе записываем координаты граничной точки (точка А) и значение целевой функции в этой точке:

А [10; 5], Q_max = 15.

Выводы:

1. Область допустимых решений задачи линейного программирования представляет собой выпуклый многогранник;

2. Решение задачи линейного программирования находится на границе области допустимых решений.

Способ 2.

Пункты 1 – 3 выполняются так же как в способе 1.

4. Подсчитываем значения целевой функции во всех вершинах допустимого многогранника и выбираем экстремальное значение:

O [0; 0], Q = 0;

C [0; 10], Q = 10;

A [10; 5], Q = 15;

B [10; 0], Q =10.

Q_max = 15, следовательно, точка A [10; 5] – решение задачи.