1.6.2. Обобщенные критерии

Обобщенные критерии – это критерии, связывающие несколько параметров объекта. Они подразделяются на две подгруппы: обобщенные аддитивные и обобщенные мультипликативные критерии.

Обобщенный аддитивный критерий. В его выражение входит сумма выходных параметров объекта, взятая с весовыми коэффициентами:

_n

Q = a_i f_i ()  min(max), (1.5)

ⁱ⁼¹

где f_i () – выходные параметры объекта; a_i – весовые коэффициенты; – вектор входных параметров.

Для примера цифровой микросхемы выходными параметрами являются потребляемая мощность (Р), помехоустойчивость (U) и быстродействие (t_з). Причем, потребляемую мощность и время задержки распространения сигнала требуется по возможности уменьшить, а максимальную амплитуду помехи – увеличить. Следовательно, критерий оптимальности будет иметь вид

Q = a₁Р + а₂ t_з  min. (1.6)

Обобщенный мультипликативный критерий. В выражение этого критерия входит произведение выходных параметров объекта:

Q =  max ,

^{П а}_i ^f_i⁺⁽⁾

П а_i f_i ^-()

^{где f}_i^{+ (}) ^{– выходные параметры, требующие максимизации;}

^f_i ^{– () – выходные параметры, требующие минимизации.}

^{Для примера микросхемы критерий оптимальности}

_{Q =  max.}

_U (1.7)

^{P t}_з

Задача оптимизации микросхемы для этого критерия состоит в том, чтобы найти такой вектор (значения резисторов и емкостей), при котором критерий оптимальности Q максимален.

3. Минимаксные критерии

В этих критериях минимизируется максимальный выходной параметр:

Q= max {a_i f_i ()}  min. (1.8)

Положим f_i () – отклонение реальной характеристики от идеальной, i – номер точки на кривой. В этом случае суть критерия состоит в том, чтобы найти такую характеристику, максимальное отклонение которой от идеальной кривой было бы минимальным.

В группу минимаксных критериев также входят максиминные критерии:

Q = min {a_i f_i()}  max. (1.9)

Пример 1.1. Пусть f_i () – выходное напряжение логических элементов некоторого объекта. Требуется рассчитать схему так, чтобы минимальное выходное напряжение логической схемы было как можно больше.

Нужно заметить, что объект, оптимальный по одному критерию, может быть неоптимальным по другому критерию.

1.7. Общая характеристика методов поиска экстремума

Основные методы поиска экстремума можно разделить на несколько групп (рис. 1.5).

Линейное программирование – задачи, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями. Признаки линейности: переменные входят в выражения только в первой степени, отсутствуют произведения переменных.

Нелинейное программирование – задачи, в которых либо целевая функция, либо ограничения нелинейные.

Вариационное исчисление занимается нахождением таких функций, которые доставляют экстремум некоторому функционалу (например, интегралу). Решением задачи вариационного исчисления является функция.

Оптимальное управление – частный случай задач вариационного исчисления. В этих задачах требуется найти функцию управления.

Если в задаче на поиск экстремума присутствуют ограничения, то это задача на поиск условного экстремума. Если же таковых ограничений нет, то это задача на поиск безусловного экстремума.

Часто для решения задачи требуется нахождение производных. Если нахождения производных не требуется, то метод относится к нулевому порядку, если требуется производная первого порядка, то говорят о методе первого порядка, и т.д.

В аналитических методах используется производная в виде функции. В численных методах нахождение производной как функции не требуется, хотя в задачах может находиться значение производной в некоторой точке численными методами.

МЕТОДЫ

по виду целевой по наличию по типу

функции ограничений экстремума

линейное условные локальные по методу

программирование решения

безусловные глобальные

нелинейное

программирование

вариационное по использованию по порядку по методу по использованию

исчисление итерации производной определения вероятностных

производной законов

оптимальное нулевого

управление итерационные порядка аналитические детерминирован-

ные

неитерационные первого численные случайные

порядка

второго

порядка

Рис. 1.5. Классификация методов поиска экстремума

В случайных методах для поиска экстремума используют случайные функции и величины, в детерминированных методах – неслучайные функции.

Итерационные методы – пошаговые методы поиска экстремума. В неитерационных методах экстремум находится за один шаг.