3.5. Решение задач нелинейного программирования с ограничениями – равенствами. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Некоторые сведения из математики.

1. Неявно заданная функция.

Говорят, что функция y(х) задана неявно, если эта функция входит в выражение F(x, y) = 0. Например, x² + y² - R² = 0.

2. Производная неявно заданной функции.

dy F/ x

dx  F/ y .

3. Сложная функция.

Функция F является сложной, если она зависит от переменной у, а у, в свою очередь, зависит от переменной х:

F = f  y(x).

4. Производная сложной функции:

dF f  y

dx  y  x .

5. Разновидность сложной функции: F = f [x, y(x)].

dF f  f  y

dx  x  y  x .

Найдем решение для следующей задачи: целевая функция F = f (x₁, x₂)  min, ограничение g(x₁, x₂ ) = 0, где f и g – нелинейные функции.

Выразим из g(x₁, x₂) = 0 переменную x₂ : x₂=  (x₁). Подставим x₂ в целевую функцию: F = f [x₁, ( x₁)]. Найдем экстремум функции одной переменной F = f [x₁, (x₁)]. Для этого найдем производную функции F и приравняем ее к нулю:

= + = 0.

dF  f  f d

dx₁  x₁   d x₁

Произведем обратную подстановку х₂ вместо  :

 f  f dх₂

 x₁  х₂ dx₁

dx₂ /dx₁ – производная от неявно заданной функции х₂. Воспользовавшись формулой, производной от неявно заданной функции, получим

 f  f  g/ х₁

 x₁  х₂  g/ x₂

В

 = -  .

ведем обозначение: f 1 (3.18)

х₂  g/ x₂

В результате этих преобразований получена следующая система уравнений:

+  = 0,

 f  g

+  = 0 {домножили выражение (3.18) на  g/ x₂ },

 x₁  x₁

 f  g (3.19)

 x₂  x₂

g(x₁ , x₂) = 0.

Введем функцию L = f (x₁, x₂) +  g(x₁, x₂). Тогда ранее полученная система уравнений (3.19) – это частные производные функции L по всем переменным (x₁, x₂, ), приравненные к нулю. Эта система уравнений и есть условие существования экстремума. Здесь L – функция Лагранжа,  – неопределенный множитель Лагранжа.

Таким образом, задача поиска условного экстремума с ограничениями-равенствами сводится к задаче поиска безусловного экстремума функции Лагранжа.

Общая постановка задачи.

F= f (x₁, x₂,  x_n )  min, (3.20)

g_i (x₁, x₂, , x_n ) = 0 , i = 1, m.

Алгоритм метода:

1. Составляется функция Лагранжа

_m

L = f (x₁, x₂, , x_n )+  _i g_i (x₁, x₂, , x_n ),

ⁱ⁼¹

где n – количество основных переменных; m – количество неопределенных множителей Лагранжа.

2. Находятся частные производные функции Лагранжа по переменным и приравниваются к нулю:

L / x_j = 0, j = 1, n,

L / _i = 0, i = 1, m.

3. Находится решение полученной системы и определяется вид экстремума.

Пример 3.10. Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в окружность радиуса R.

y

Решение

Возьмем на окружности точку А(х, у)

(рис. 3.6), тогда математическая запись

условий задачи примет следующий вид:

Рис. 3.6. Метод неопределенных множителей Лагранжа

S = 4 x y  max, x ²+ y ² – R ² = 0,

x, y  0.

1. Составим функцию Лагранжа: L = f +  g = 4 xy +  ( x²+ y² - R²).

2.  L / x = 4y + 2 x = 0,

 L / y = 4 x + 2 y = 0,

 L /  = x²+ y² - R² = 0.

Из первого уравнения: y = -  x / 2.

Подставляем во второе уравнение: 4x - ²x = 0; x(4 - ²) = 0;

x = 0, ₁ = 2, ₂ = -2 .

Корень х = 0 не удовлетворяет условиям задачи. По аналогичной причине отбрасываем корень ₁.

₁ = 2: y = - x / 2 = - 2х / 2 = -x  0.

₂ = -2: y = - x / 2 = x.

Подставив у = х в третье уравнение системы, получаем х = у = R / 2 .