3.4. Методы поиска безусловного экстремума функции многих переменных

3.4.1. Аналитический метод

Задана функция нескольких переменных f (х₁, х₂, , х_n)  min (max). Требуется найти такие вектора , , …, , при которых функция минимальна.

Алгоритм:

1. Находим частные производные и приравниваем их к нулю:

= 0 , i = 1,  , n . (3.12) (3.12)

 f

 x_i

2. В результате решения полученной системы уравнений (3.12) находим вектора ,,…,.

3. Определяем тип экстремума.

Для определения типа экстремума для каждой точки составляется матрицаА следующего типа:

а₁₁  а_1n

A =  , где a_ij = . (3.13)

а_n1  а_nn

Если все главные миноры матрицы А, найденные для точки , положительны, то функция в этой точке имеет минимум.

Если все главные миноры матрицы (-А), найденные для точки , положительны, то функция в этой точке имеет максимум.

Во всех остальных случаях функция в точке не имеет ни максимума, ни минимума.

Главный минор (_i ) – это определитель подматрицы, получающейся путем отчеркивания i-й строки и i-го столбца.

Пример 3.7.

F(x, y) = 3 x² - x + y³ – 3 y² - 1.

Найти экстремумы заданной функции.

Решение

1. = 9x² - 1, = 3 y² – 6 y.

2. 9x² - 1 = 0

3 y² - 6 y = 0

x₁ =1/ 3, x₂ = -1/ 3 , y₁ = 0, y₂ =2.

3. Для определения типа экстремума требуется рассмотреть четыре точки: M₁(1/3 , 0), M₂(-1/3 , 0), M₃(1/3 , 2), M₄ (-1/3 , 2).

а₁₁ а₁₂

а₂₁ а₂₂

А = ,

а₁₁ = ²f / x² =18 x, а₁₂ =  ²f / x y = 0,

а₂₁ =  ²f / y x = 0, а₂₂ = ²f / y² = 6y - 6.

Для точки М₁(1/3 , 0) а₁₁ = 6, а₁₂ = а₂₁ = 0, а₂₂ = -6,

₁ ( А) = а₁₁ = 6  0, ₂ ( А) = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁ = -36  0,

₁ (-А) = а₁₁ = -6  0, ₂ (-А) = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁ = -36  0.

Следовательно, в точке М₁ нет ни минимума, ни максимума.

Для точки М₂ (-1/3, 0) а₁₁ = -6, а₁₂ = а₂₁ = 0, а₂₂ = -6

₁ (А) = а₁₁ = -6  0, ₂ (А) = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁ = 36  0,

₁ (-А) = а₁₁ = 6  0, ₂ (-А) = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁ = 36 0.

Следовательно, в точке М₂ функция имеет максимум. Аналогично рассматриваются точки М₃ и М₄ .

3.4.2. Численные методы

Постановка задачи:

1. Функция нескольких переменных f (х₁, х₂, , х _n )  min (max).

2. Точка М₀ (х₁⁰, х₂⁰, , х _n⁰) – начальное приближение к экстремуму.

3. – точность нахождения экстремума.

Критерий окончания счета. Обычно используются два критерия окончания счета:

1. grad f (M_i)    . (3.14)

Модуль градиента в точке экстремума равен нулю. Следовательно, чем меньше модуль градиента, тем ближе к экстремуму точка. Модуль градиента

grad f ( M_i ) = + +  + .

M_i

2. f (M_i ) – f (M_i-1 )   . (3.15)

Разность значений функции в двух соседних точках при приближении к экстремуму стремится к нулю.