3.2.Графический метод решения задач нелинейного программирования

Этот метод применяется, когда количество переменных равно двум и либо целевая функция, либо ограничения линейные. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Целевая функция линейная, ограничения нелинейные.

Алгоритм при этом следующий:

1. Ограничения-неравенства заменяем ограничениями-равенствами. Строим графики полученных функций.

2. Выделяем область допустимых решений.

3. Строим график целевой функции при каком-либо значении правой части (графиком является прямая).

4. График целевой функции переносим параллельно самому себе до касания с границей области допустимых решений.

5. Находим координаты точки касания.

Пример 3.4.

Z = 2 x + y  max ,

x² + y²  36,

x, y  0.

А – точка касания (рис. 3.3).

y

x

6

6

Z = max

Z = 0

A







Рис. 3.3. Графический метод решения линейного ЦФ

и ЗНЛП для нелинейных ограничений

Решение

tg   = 2, tg  = tg (/2 - ) = ctg  = 1/2.

Точка А лежит на луче, проходящем под углом  к оси абсцисс. Кроме того, точка А принадлежит A(x, y) окружности. Следовательно, координаты точки А можно найти, решив следующую систему:

x² + y² = 36,

y / x = 1/2

x=12 / 5, y = 6 / 5,

Z_max = 30 / 5 .

Случай 2. Ограничения линейные, целевая функция нелинейная (рис. 3.4).

Алгоритм аналогичен предыдущему с некоторыми отличиями:

1. Область допустимых решений – выпуклый многоугольник,

2. Для нахождения решения требуется строить семейство целевых функций.

Пример 3.5.

Z = (x² + y²)  max

Решение

3x + 4 y - 24  0

x, y  0.

Рис. 3.4. Графический метод решения ЗНЛП

для линейных ограничений и нелинейной ЦФ

Ответ: x= 8, y = 0, Z_max = 8.

Существует некоторый класс задач нелинейного программирования, который можно свести к задачам линейного программирования. Это задачи дробно-линейного программирования.

3.3. Задачи дробно-линейного программирования

Постановка задачи:

c

Q =  min,

₀ + c₁ x₁ + c₂ x₂ +  + c_n x_n

d₀ + d₁ x₁ + d₂ x₂ +  + d_n x_n

_n (3.6)

a_ij x_j = b_i, i = 1, m,

^j=1

x_j  0, j = 1, n.

Предположим, что знаменатель целевой функции не равен нулю и положителен (если он отрицателен, то умножим числитель и знаменатель на -1).

Введем новую переменную Y₀:

1 (3.7)

_n

d₀ +  d_i x_i

ⁱ⁼¹

тогда ЦФ

Q = c₀Y₀ + c₁Y₀ x₁ + c₂Y₀ x₂ +  + c_nY₀ x_n  min. (3.8)

Введем переменныеY_i = x_iY₀, i = 1, n , тогда

Q = c₀Y₀ + c₁Y₁ + c₂Y₂ +  + c_nY_n  min. (3.9)

Домножим левую и правую части ограничений на Y₀ :

_{n n}

 a_ijx_jY₀= b_i Y₀ ,  a_ijY_i= b_i Y₀ . (3.10)

^{j=1 j=1}

Добавим еще ограничение:

. (3.11)

Получили задачу линейного программирования ((3.9) – (3.11)). Решив ее одним из методов линейного программирования, получим оптимальное решение Y_j^. Далее осуществляется переход к исходным переменным Х_j^ = Y_j^/ Y₀ .

П

Q =  min.

ример 3.6.

2 x₁ + x₂

x₁ + 2 x₂ + 1

x₁ + 2 x₂  2,

2 x₁ + x₂ + x₃ = 6,

x₁, x₂, x₃  0.

Решение

1. Вводим новые переменные Y₀, Y₁,Y₂:

1

Y₀ =

x₁ + 2 x₂ + 1,

Q = -2 x₁Y₀ + х₂Y₀ = -2Y₁ + Y₂  min.

2. Преобразуем ограничения:

x₁Y₀ – 2 х₂Y₀ - 2Y₀ ≤ 0,

2 x₁Y₀ + х₂Y₀ + х₃Y₀ = 6Y₀,

x₁Y₀ + 2 х₂Y₀ + Y₀ = 1.

Y₁ - 2Y₂  2Y₀,

2 Y₁ + Y₂ + Y₃ - 6Y₀ = 0,

Y₁ + 2Y₂ + Y₀ = 1,

Y₁, Y₂ , Y₃  0.

3. Преобразуем ограничение-неравенство в ограничение-равенство введением искуственной переменной Y₄:

Y₁ - 2Y₂ - 2Y₀ + Y₄ = 0.

4. Приведем задачу к каноническому виду методом искусственного базиса:

Y₁ - 2Y₂ - 2Y₀ + Y₄ = 0,

2 Y₁ + Y₂ + Y₃ - 6Y₀ + Y₅ = 0,

Y₁ + 2Y₂ + Y₀ + Y₆ = 1.

Искусственная целевая функция G =Y₅ + Y₆  min.

5. В результате решения задачи методами линейного программирования получим ответ:

Y₀ = 1/3, Y₁ = 2/3, Y₂ = 0, Y₃ = 2/3.

6. Переходим к исходным переменным:

Х₁ = Y₁ /Y₀ = 2,

Х₂ = Y₂ /Y₀ = 0,

Х₃ = Y₃ /Y₀ = 2.