2.6 Расчет надежности.

2.6.1Методика расчета.

При испытании партии изделий вероятность исправной работы определяется соотношением:

P(t) ≈ lim_{∆t→0,N0→∞} (N0 – _k=1∑^[t/∆t]n_k)/N0 ≈ N(t)/N0 (1)

где N0 – число изделий в начале испытаний; n_k – число изделий, которые вышли из строя в интервале времени ∆t; t – время, для которого определяется вероятность исправной работы; ∆t_k – принятая продолжительность интервала времени наблюдения; N(t) – число изделий, исправно работающих в интервале [0, t].

Вероятность отказа определяется соотношением:

Q(t) = 1 – P(t) = F(t) (2)

Согласно (2)

Q(t) ≈ _k=1∑^[t/∆t]n_k/N0 (3)

Под временем безотказной работы понимается математическое ожидание времени исправной работы:

Tср = M[T] = ₀∫^∞ t*F’(t)dt (4)

Практически среднее время исправной работы однотипных элементов определяется по формуле:

Tср ≈ _k=1∑^N0 t_k/N0 (5)

где N0 – число изделий, над которыми проводятся испытания; t_k – время исправной работы k-го элемента.

Пусть Т – время непрерывной исправной работы от начала до конца; t – время, в течение которого надо определить вероятность исправности работы изделия P(t). Вероятность того, что за время t произойдет хотя бы один отказ:

Q(t) = F(t) (6)

Вероятность того, что за время t не произойдет отказа:

P(t) = 1 – Q(t) = 1 – F(t), (7)

Q’(t) = dF(t)/dt (8)

Следовательно, среднее время работы есть математическое ожидание случайной величины:

Tср = ₀∫^∞ t*Q’(t)dt (9)

тогда из (7) получаем:

Tср = -₀∫^∞ t*P’(t)dt (10)

Интегрирование по частям:

Tср = -[t*P(t)]₀^∞ + ₀∫^∞ P(t)dt (11)

с учетом –[t*P(t)] ₀^∞ =0, дает выражение:

Tср = ₀∫^∞ P(t)dt (12)

Число элементов, которые будут работать непрерывно к моменту t определяется из (1):

N(t) = N0*P(t) (13)

Число отказавших элементов за интервал ∆t:

n(t) = N(t) – N(t+∆t) = N0*[P(t)-P(t+∆t)]. (14)

Отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, продолжающих исправно работать, есть интенсивность отказов (ч^-1):

٨(t) = n(t)/[N(t)∆t] (15)

где n(t)-число отказавших элементов в отрезке времени от t-∆t/2 до t+∆t/2; N(t)=0.5(N_k-1 + N_k); N_k-1(t) – число исправных элементов в начале интервала времени ∆t; N_k(t) – число исправно работающих элементов в конце интервала ∆t.

Таким образом, интенсивность отказов показывает, какая часть элементов выходит из строя в единицу времени по отношению к среднему числу исправно работающих элементов.

Подставляя в (15) значение n(t) из (14), получаем выражение интенсивности в следующем виде:

٨(t) = -dP/[P(t)dt] (16)

Интегрируя обе части (16) в интервале от 0 до t, получаем:

₀∫^t ٨(t)dt = -lnP(t)

P(t) = exp[₀∫^t ٨(t)dt] (17)

Если ٨(t)= const, то (17) представляет собой экспоненциальный закон надежности. По этому закону вероятность исправной работы элементов, обладающих интенсивностью отказов ٨, убывает со временем по экспоненциальной кривой. Такую кривую называют функцией надежности.

Подставив значение P(t) в (12), получим:

Tср = ₀∫^t exp[₀∫^t ٨(t)dt]dt

Если ٨(t) равна постоянной величине, то:

Tср = ₀∫^t e^٨t dt = 1/٨ (18)

Тогда (17) принимает вид:

P(t) = e^-٨t (19)

Таким образом, для нормального периода эксплуатации (период характеризуется пониженным уровнем и примерным постоянством интенсивности отказов) интенсивность отказов остается постоянной и справедлив экспоненциальный закон надежности, время безотказной работы имеет экспоненциальный закон распределения.

Формулы для вычисления надежности элемента справедливы, если условия эксплуатации строго определены и соответствуют условиям, в которых получены характеристики ٨ и а.

В общем случае условия эксплуатации определяются комплексом внешних воздействий. Для учета данных воздействий вводятся следующие коэффициенты:

Кр – коэффициент режима для пересчета исходной интенсивности отказов к требуемым режимам применения ЭРИ в аппаратуре.

Кпр - коэффициент приемки отражает уровни качества изготовления изделий. Для изделий с приемкой 5 принято значение Кпр=1.

Кэ - коэффициент эксплуатации показывает во сколько раз условия эксплуатации в требуемой аппаратуре жестче, чем в аппаратуре гр. 1.1. (для этой группы Кпр=1).

Кст – учитывает сложность интегральной схемы и температуры окружающей среды.

Кs1 – определяется отношением рабочего напряжения полупроводникового прибора к максимально-допустимому напряжению по ТУ.

Кд.н – определяется максимально допустимой нагрузкой полупроводникового прибора по мощности рассеяния.

Кс – определяется величиной емкости конденсатора.

Кпс – определяется величиной последовательно включенного с оксидно-полупроводниковым конденсатором активного сопротивления.

Ккк - определяется количеством задействованных контактов соединителя.

Ккс – определяется количеством сочленений – расчленений соединителя в течении всего времени эксплуатации.

Ккорп – определяется типом корпуса

Кv – определяется снижением электрической нагрузки по напряжению

Кф – определяется функциональным назначением прибора

Кr – определяется величиной оммиченского сопротивления

Км – определяется величиной номинальной мощности

Кис – учитывает степень освоенности технологий изготовления.

В общем случае интенсивность отказа элемента определяется по формуле:

٨_э = ٨_б*П_i=1ⁿ K_i

где ٨_э – эксплуатационная интенсивность выхода элемента из строя; ٨_б – исходная интенсивность отказов элементов приведенная к номинальной электрической нагрузке при температуре 25⁰С.