Сопромат_Свисткова / сопромат_2 / з 4 / 4

4. Расчет вала на сложное сопротивление

Определить из условий прочности необходимые размеры диаметра редукторного ступенчатого вала.

Дано:

Т = 0,1 кН·м; а = 30 мм;

D₁ = 70 мм; в = 60 мм;

D₂ = 120 мм; с = 100 мм;

[σ] = 120 МПа;

Требуется:

1. определить окружные и радиальные усилия, приняв соотношение между ними P_ri = 0,36 P_ti;

2. построить эпюру изгибающих моментов в двух плоскостях;

3. построить эпюру суммарных изгибающих моментов (по теореме Пифагора);

4. построить эпюру крутящих моментов;

5. используя четвёртую теорию прочности определить диаметр вала на отдельных участках, округлив их до стандартных размеров;

6. начертить эскиз вала;

1. Определить окружные и радиальные усилия, приняв соотношение между ними P_ri = 0,36 P_t:

(рис.4.1)

Для определения окружных (P_ti) и радиальных (P_ri) усилий, воспользуемся следующим соотношением между ними P_ri = 0,36 P_ti.

(рис.4.2)

Из (рис.4.2) видно что P_t·R = T. Тогда P_ti = .

Найдем окружные и радиальные усилия в вертикальной и горизонтальной плоскостях:

в вертикальной плоскости: P_t1 =

P_r2 = 0,36 P_t2 = 0,36·1,67 = 0,6012кН

в горизонтальной плоскости: P_t2 =

P_r1 = 0,36 P_t1 = 0,36·2,85 = 1,026кН

2. Построить эпюру изгибающих моментов в двух плоскостях:

а) в вертикальной плоскости:

(рис.4.3)

Для начала определим реакции опор R_а и R_в, Спроецируем все приложенные силы на ось y. Направления P_t1 и P_r2 определяем, проецируя их на оси координат (рис.4.1).

Σ P = <4.1>

В уравнении <4.1> мы имеем две неизвестные: R_а и R_в. Найдем одну из них. Для этого составим уравнения моментов относительно какой-нибудь из опор. Например относительно опоры А.

Σ М_а = <4.2>

Решая уравнения <4.1> и <4.2>, находим:

R_в =

R_а = P_t1 – R_в – P_r2 = 2,85 – (- 0,3192) – 0,6012 = 2,57кН

Для построения эпюры изгибающих моментов, нужно силу (реакцию опор) умножить на плечо (расстояние до приложенных усилий). Полученные точки соединить прямыми линиями (рис.4.3)

б) в горизонтальной плоскости:

(рис.4.4)

Для начала определим реакции опор R_а и R_в, Спроецируем все приложенные силы на ось y. Направления P_t2 и P_r1 определяем проецируя их на оси координат (рис.4.1).

Σ P = <4.4>

В уравнении <4.4> мы имеем две неизвестные: R_а и R_в. Найдем одну из них. Для этого составим уравнения моментов относительно какой-нибудь из опор, к примеру относительно опоры А.

Σ М_а = <4.5>

Решая уравнения <4.4> и <4.5>, находим:

R_в =

R_а = P_r1 – R_в – P_t2 = 1,026 – (- 3,184) – 1,67 = 2,54кН

Для построения эпюры изгибающих моментов, нужно силу (реакцию опор) умножить на плечо (расстояние до приложенных усилий). Полученные точки соединить прямыми линиями (рис.4.4)

1. Построить эпюру суммарных изгибающих моментов (по теореме Пифагора):

Используя теорему Пифагора находим М_Σ = (рис. 4.5)

(рис. 4.5)

Для первого вала: М_Σ =

Для второго вала: М_Σ =

4. Построить эпюру крутящих моментов:

5. Используя четвёртую теорию прочности определить диаметр вала на отдельных участках, округлив их до стандартных размеров:

Согласно четвёртой теории прочности наибольшие эквивалентные напряжения будут равны:

σ_экв = <4.6>. σ_экв ≤ [σ]

Момент сопротивления для круглого стержня будет равен:

W_z = 0,1d³ <4.7>.

Найдем опасное сечение с наибольшим эквивалентным моментом:

М_экв = <4.8>.

Решая уравнение <4.8>, найдем наибольший эквивалентный момент для участков нашего вала:

М_экв(1) =

М_экв(2) =

Решая уравнения <4.6>, <4.7> и <4.8> совместно, находим диаметры валов:

d₍₁₎ =

d₍₂₎ =

2. Эскиз вала: