Сопромат_Свисткова / сопромат_2 / з 2 / 2

2. Растяжение - сжатие статически определимых ступенчатых стержней

Продольные силы приложены по концам и в середины участка стержня.

Дано:

а = 36 см; F_a = 12 см²; P_a = 100 кН;

в = 80 см; F_в = 16 см²; P_в = 60 кН;

с = 70 см; F_с = 14 см²; P_с = 180 кН;

[σ] = 160 МПа;

Вычислить:

1. построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений; оценка прочности стержня;

1. Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений; оценка прочности стержня:

(рис. 2.1)

Разобьём брус на отдельные участки, начиная со свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и места изменения размеров поперечного сечения. Таким образом, наш брус имеет пять участков.

Для определения продольной силы на каждом из участков (рис.2.1), проведем в них произвольные сечения (на участке 1: a –a; на участке 2: b –b; на участке 3: c –c; на участке 4: d –d; на участке 5: e –e). Эту силу находим, проецируя на ось бруса внешние и внутренние силы, действующие на оставленную часть. Таким образом, получаем:

N₁ = P_а = 100 кН

N₂ = N₁ = 100 кН

N₃ = P_а – P_в = 40 кН

N₄ = N₃ = 40 кН

N₅ = P_а – P_в + P_с = 220 кН

(рис.2.2)

Построим график (эпюру), показывающий, как меняется N по длине бруса. Для этого,проведя ось графика параллельно оси бруса, откладываем в произвольно выбранном масштабе значения продольных сил. Так как в пределах двух смежных участков продольная сила не меняется, то эпюра ограничена прямыми, параллельными оси бруса. Полученный график принято штриховать, при этом штриховка должна быть перпендикулярна оси бруса. Каждая линия штриховки в соответствующем масштабе выражает величину продольной силы в лежащем против неё поперечном сечении бруса (рис.2.2, а).

Эпюру нормальных напряжений (рис. 2.2, в) получим разделив значения N на соответствующие площади поперечных сил бруса (σ = ):

σ₁ =

σ₂ =

σ₃ =

σ₄ =

σ₅ =

Наибольшему напряжению подвержен пятый участок стержня, то есть участок от силы P_с = 180 кН до основания стержня. Здесь σ_max = σ = 157,1 МПа < 160 МПа ([σ]), следовательно, стержень выдержит нагрузку.

Эпюрой перемещений называется график, показывающий закон изменения величин перемещений поперечных сечений бруса по его длине.

Абсолютное перемещение Δl произвольного поперечного сечения равно изменению длины части бруса, заключённой между рассматриваемым сечением и заделкой. Относительное перемещение двух поперечных сечений бруса равно изменению длины части бруса, заключённой между этими сечениями. Δl =

Δl₁ =

Δl₂ =

Δl₃ =

Δl₄ =

Δl₅ =

Эпюру перемещений следует строить, начиная от защемлённого конца. Перемещение произвольного сечения е – е ,взятого в пределах участка 5 бруса, равно удлинению части бруса длиной (рис.2.2, с)

Δl₁ =

Для определения продольных перемещений на других участках балки, необходимо к полученным значениям перемещений добавлять значения на каждом участке (см. рис 2.2, с):

На участке 5: Δl₁₍₅₎ = Δl₁ = 0,27мм

На участке 4: Δl₂₍₄₎ = Δl₁₍₅₎ + Δl₂ = 0,27 +0,05 = 0,32мм

На участке 3: Δl₃₍₃₎ = Δl₂₍₄₎ + Δl₃ = 0,32 + 0,05 = 0,37мм

На участке 2: Δl₄₍₂₎ = Δl₃₍₃₎ + Δl₄ = 0,37 + 0,125 = 0,495мм

На участке 1: Δl₅₍₁₎ = Δl₄₍₂₎ + Δl₅ = 0,495 + 0,15 = 0,645мм