выч методы не разобраны! / 2-лаба / Расчётная работа №2 / Вариант 37 / вариант 37

Задание №5:

Используя метод прогонки, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с заданной точностью, шаг

Решение:

, значит , где

Параметры граничных условий:

Параметры дифференциального уравнения:

Решим данную краевую задачу методом прогонки:

Значения этих коэффициентов:

1	0,55	0,55	1	1,55	-0.507509	-0.493742	-0,00194
2	0,6	0,6	1	1,6	-0.508135	-0.493116	-0,002003
3	0,65	0,65	1	1,65	-0.508761	-0.492491	-0,002065
4	0,7	0,7	1	1,7	-0.509387	-0.491865	-0,002128
5	0,75	0,75	1	1,75	-0.510013	-0.491239	-0,00219

Значения коэффициентов и можно найти из первого краевого условия, а также из основного уравнения при :

За прямой ход прогонки, начиная с , находятся все до по формулам

	2	3	4	5
	-1.030730	-1.033279	-1.035831	-1.038385
	0.032645	0.036631	0.040725	0.044926

можно определить из второго краевого условия:

За обратный ход прогонки определяем , начиная с до , по формуле

	5	4	3	2	1
	-0.407767	-0.464562	-0.517873	-0.567436	-0.613008

определяется из начальных условий по формуле:

Ответ: решение дифференциального уравнения на заданном интервале имеет вид:

0	0,5	-0.654367
1	0,55	-0.613008
2	0,6	-0.567436
3	0,65	-0.517873
4	0,7	-0.464562
5	0,75	-0.407767
6	0,8	-0.347767

Выполним проверку краевых условий:

Первое краевое условие:

Второе краевое условие:

Задание №6:

Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для уравнения колебания струны . Решение выполнить с шагом .

С начальными условиями:

С краевыми условиями:

Решение:

, , ,

Посчитаем значения в граничных узлах:

Пусть , тогда , где

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	-0,5	-0,54	-0,56	-0,56	-0,54	-0,5	-0,44	-0,36	-0,26	-0,14	0

Пусть , тогда , где

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	-0,5	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5

Пусть , тогда , где .

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	0	0,3	0,6	0,9	1,2	1,5	1,8	2,1	2,4	2,7	3

Теперь будем считать значение функции в строках от до .

: значение функции в этой строке можно посчитать из начального условия:

, где

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
	-0,510	-0,521	-0,512	-0,484	-0,436	-0,368	-0,282	-0,176	-0,051

:

, где

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
	-0.381	-0.463	-0.445	-0.408	-0.352	-0.277	-0.184	-0.073	0.264

, где

: , где

и т. д.

: , где

Ответ: Полученные значения объединим в таблицу:

		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	-0,5		-0,54	-0,56	-0,56	-0,54	-0,5	-0,44	-0,36	-0,26	-0,14	0
1	-0.4		-0,510	-0,521	-0,512	-0,484	-0,436	-0,368	-0,282	-0,176	-0,051	0.3
2	-0.3		-0.381	-0.463	-0.445	-0.408	-0.352	-0.277	-0.184	-0.073	0.264	0.6
3	-0.2		-0.252	-0.305	-0.358	-0.313	-0.249	-0.168	-0.068	0.256	0.578	0.9
4	-0.1		-0.124	-0.148	-0.173	-0.200	-0.129	-0.040	0.272	0.583	0.892	1.2
5	0		0,004	0,008	0.011	0.011	0,009	0.311	0.611	0.908	1.204	1.5
6	0.1		0.132	0.163	0.192	0.220	0.451	0.660	0.947	1.232	1.516	1.8
7	0.2		0.258	0.316	0.372	0.632	0.871	1.087	1.282	1.555	1.828	2.1
8	0.3		0.384	0.467	0.756	1.023	1.268	1.492	1.695	1.877	2.139	2.4
9	0.4		0.509	0.824	1.118	1.392	1.644	1.876	2.088	2.279	2.450	2.7
10	0.5		0.840	1.160	1.460	1.740	2.000	2.240	2.460	2.660	2.840	3.0

10