Комплексные числа в алгебраической форме

1. Комплексные числа в алгебраической форме.

Комплексным числом называется выражение вида , где — действительные числа ; — число, квадрат которого равен минус единице ; число обозначается .

Числа и при этом называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются ; — мнимая единица.

Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа; знаки между составляющими числа — обычные знаки операций сложения и умножения, которые обладают теми же свойствами, что и в действительной области.

Множество комплексных чисел обозначается , а — элемент данного множества.

Из определения следует, что действительные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, т.е. , а именно при получаем — действительное число.

Число называется чисто мнимым.

2. Комплексные числа в тригонометрической форме

Каждому комплексному числу геометрически соответствует точка на плоскости . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат в полярной системе

Величина является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол может принимать бесчисленное множество значений (при этом ): если точке соответствует некоторое значение , то ей также соответствуют значения . Например, если для точки выбрать , то ей соответствует любое , в частности при . Если же выбрать , то , а при получаем .

Используя связь декартовых и полярных координат точки , из алгебраической формы записи комплексного числа получаем тригонометрическую форму:

3. Показательная форма записи комплексного числа и действия над ними. Формулы Эйлера.

Если обозначить комплексное число , у которого , а , через , то есть , то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:

Равенство называется формулой Эйлера.

Заметим, что геометрически задание комплексного числа равносильно заданию вектора , длина которого равна , то есть , а направление — под углом к оси (рис. 1.3,б).

Действия над к.ч.

4. Предел последовательности комплексного числа. Свойства пределов.

    Многие из понятий, введенных для последовательностей действительных чисел, обобщаются на последовательности комплексных чисел, причем с сохранением ряда свойств.     Комплексное число называется пределом последовательности комплексных чисел {z_n}, если для любого > 0 существует такой номер , что для всех n > выполняется неравенство |z_n - z₀| < .

В этом случае пишут z_n = z₀ и говорят, что последовательность {z_n} сходится к числу z₀.

    Последовательность {z_n} комплексных чисел называется ограниченной, если ограничена последовательность действительных чисел {|z_n|} (т. е. если ограничена последовательность абсолютных величин членов данной последовательности).

1°   Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

2°   Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

3°   Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

4°   Константу можно выносить за знак предела:

5°   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

5. Функции комплексного переменного.

Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области.

Пусть заданы два множества и комплексных чисел.

Если каждому значению ставится в соответствие число , то говорят, что на множестве задана функция комплексного переменного, т.е.

Если записать числа и в алгебраической форме: , то замечаем, что действительная и мнимая части функции являются функциями переменных и и .

Задание функции эквивалентно заданию на множестве двух функций двух действительных переменных.

6. Производная функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана.

Производная функции комплексного переменного в точке вводится так же, как и в действительной области, а именно

Здесь стремится к нулю по любой кривой, по любому направлению.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.

Условия Коши-Римана, которые также в некоторых источниках называются условиями Даламбера-Эйлера - соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного , где

Для того чтобы функция , которая определена в некоторой области комплексной плоскости , была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части и были дифференцируемы в точке как функции вещественных переменных и и в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:

7. Гармонические функции.

8. Интегралы от функции комплексного переменного.

9. Свойства интегралов от функции комплексного переменного.

10. Криволинейный интеграл второго рода.

Если существует , не зависящий ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора точки , то этот предел называется криволинейным интегралом II рода и обозначается

или .

Итак, по определению, криволинейный интеграл II рода

,

11. Свойства аналитических функций. Логарифмическая функция.

В теории и практике применения функций комплексного переменного интерес представляют дифференцируемые функции, причем имеющие производные не в отдельных точках, а на множествах — в областях. Такие функции называют аналитическими.

Имеют место следующие определения.

1. Функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется аналитической в области.

2. Функция, аналитическая в окрестности некоторой точки, называется аналитической в этой точке.

3. Функция называется аналитической на замкнутом множестве если она является аналитической в некоторой области, содержащей это множество

4. Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются её особыми точками.

Если функция непрерывна в области и в каждой точке области выполняются условия Коши-Римана, то функция является аналитически в области.

Арифметические свойства

Если и аналитичны в области

1. Функции , и аналитичны в .

2. Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в

3. Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в .

Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности.

Если множество нулей аналитической в односвязной области функции имеет в этой области предельную точку, то функция тождественно равна нулю.

Для функции от нескольких действительных переменных аналитичности по каждой из переменных недостаточно для аналитичности функции

Логарифмическая функция

Имеет вид : z=e^w где z, w – комплексные числа.

Def: если на некоторой области D существует функция w=f(z) которая является однозначной на этом множестве, тогда существует обратная функция z=φ(w)

Прологорифмируя функцию z=e^w получим w=ln|r|+iargz, r=sqrt(x^2+y^2)

argz- главное значение агрумента

12. Числовые ряды с комплексной переменной. Степенные ряды.

Опр: числовым рядом от комплексного переменного называется числовой ряд z₁+z₂+…+z_n=∑z_n

Опр. Частичной суммой числового ряда называется S_n= z₁+z₂+…+z_n

Числовой ряд называется сходящимся если существует предел S_n при n->бесконечность.

Примечание. Все признаки обыкновенных числовых рядов остаются справедливыми для рядов с комплексными членами.

Степенные ряды.

Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x−x0), то есть ряд вида

где x0 − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

13. Интегрирование функций комплексного переменного.

Опр. Область D называется односвязной, если любой замкнутый контур расположенный в области D можно стянуть в одну точку.

Теорема Коши: если функция f(z) аналитическая на односвязной области D, то интегралом от f по любому кусочно-гладкому контуру, принадлежащему D = 0.

Теорема 2: пусть область D компелксной плоскости ограничена положительно ориентированным кусочно-гладким контуром Г, тогда для f(z) аналитической на границе области D справедливо тождество

Область D в этом случае может быть не односвязной.

Теорема 3: пусть область D ограничена внешним контуром Г ориентрованным против часовой стрелки(внутренний контур так же ориентирован) и пусть на границе D задана аналитическая функция f(z) тогда имеет место тождество

14. Формула Коши для односвязной области.

15. Ряд Лорана.

Ряд Лорана — двусторонний бесконечный степенной ряд по целым степеням над полем комплексных чисел:

где

Этот ряд является суммой двух рядов:

1.  — неотрицательная часть ряда Лорана, которая иногда называется правильной и

2.  — отрицательная часть ряда Лорана, которая иногда называется главной.

16. Классификация изолированных особых точек.

Точка аС_z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|< }, а в самой точке а не определена.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|<} точки z= и функция

имеет в точке  =0 изолированную особую точку однозначного характера.

В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.

Изолированная особая точка а функции f (z) называется

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

б) полюсом, если

в) существенно особой точкой, если

не существует.

17. Понятие вычета.

Лемма. Если функция F(z) регулярна в кольце {z:r<|z–a|<R}, то интеграл

, r<<R, не зависит от .

Пусть z=a – изолированная особая точка однозначного характера функции f (z). Вычетом функции f (z) в точке z=a (а) называется величина

( >0 – любое достаточно малое число). При а=

(R>0 – любое достаточно большое число). Направление интегрирования выбрано так, чтобы внутренность круга осталась слева.

Независимость интегралов в последних формулах от  и R соответственно следует из леммы.

18. Вычет бесконечно удаленной точки.

Вычет относительно бесконечно удаленной точки

(f(z) - аналитическая в области обход контура - по часовой стрелке).

c_-1 - коэффициент при z^-1 в разложении f(z) в ряд Лорана в окрестности точки .

19. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Основная теорема о вычетах. Пусть функция f (z) регулярна всюду в замкнутой области D за исключением конечного числа изолированных особых точек а ( =1, 2, 3,…, n), лежащих внутри области D.

Тогда

,

где Г – граница области D, проходимая в положительном направлении.

20. Преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется функция:

f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p) однозначно определяются друг относительно друга, тоесть если Вы знаете f(x), то всегда можете узнать F(p), и наоборот, если знаете F(p), то всегда можете получить f(x).

21. Изображение основных элементарных функций.

Простейшей функцией-оригиналом является единичная функция Хевисайда . Тогда ясно, что .

Если удовлетворяет условиям 1 и 3,то является оригиналом.

В дальнейшем мы будем писать вместо , считая, что для всех отрицательных .

1.2. Функция , где комплексная переменная , называется лапласовым изображением функции .Функция  определена в полуплоскости .

Тот факт, что является изображением функции записывают так: .

Изображение функций Хевисайда,  и:

. Итак, .

; .

22. Теорема подобия.

Теорема подобия. Если изображение функции равно , изображение функции .

Пример 1. .

Тогда ; ; таким образом, ; .

23. Свойства линейности. Теорема о смещении изображения.

Свойство линейности изображения. Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные, равно сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные, то есть если  и , а , то .

Пример 2. Изображение функции  равно

.

1.5. Теорема смещения. Если есть изображение функции , то  есть изображение функции , то есть если , то .

Эта теорема позволяет расширить класс функций, для которых легко находятся оригиналы по данному изображению.

Используя данную теорему, получим изображение функций , ,  и некоторых других.

, но , поэтому , .

Гиперболическая функция имеет изображение

.

Аналогично можно найти изображение гиперболического косинуса: т.к. , то .

Зная изображения ,, по теореме смещения можно получить изображения функций  и . Так, ; .

24. Теорема о дифференцировании изображения.

Дифференцирование изображения. Если , то . Используя данную формулу, найдем изображение степенной функции . Известно, что . Применяя формулу дифференцирования изображения при , получим  или . Аналогично  или . Далее, .

Откуда или . При любом  получаем .

Применяя теорему смещения к этому изображению, получим .

 На основании теоремы дифференцирования изображения можно получить изображения функций  и ,

,

.

25. Теорема о дифференцировании оригинала.

Если f⁽ⁿ⁾(t) - оригинал с показателем роста , и f(t) F(p), то

f⁽ⁿ⁾(t) pⁿF(p)-p^n-1f(0)-p^n-2f `(0)-...-pf<sup>(n-2)</sup>(0)-f<sup>(n-1)</sup>(0) при Rep. В частности, если f(0) =f `(0) =...=f^(n-1)(0)=0, то f⁽ⁿ⁾(t) pⁿF(p)

(при дифференцировании оригинала изображение умножается на р).

26. Теорема об интегрировании изображения и оригинала.

Интегрирование оригинала. Если , то .

Интегрирование изображений. Если , а  сходится, то .

27. Теорема о запаздывании оригинала. Теорема о преобразовании Лапласа от свертки.

Теорема запаздывания. Если , то для любого  . Это означает, что запаздыванию включения оригинала на  соответствует умножение изображения на .

Замечание. Теорему целесообразно использовать при отыскании изображений функций, которые на разных участках задаются разными аналитическими выражениями. При этом удобно записывать функцию  следующим образом: где  – точки изменения аналитического выражения.

28. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

где a_k –действительные числа.

Требуется найти решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

x(0)=x₀, x`(0)=x`₀, …, x^(n-1)(0)=x₀^(n-1)

где x₀, x`₀, …, x₀^(n-1) – заданные числа.

Будем предполагать, что искомая функция x(t), все ее производные, а также функция f (t) являются оригиналами.

Пусть . По формулам дифференцирования оригиналов

Перейдем от данного дифференциального уравнения к уравнению в изображениях

Перепишем его так

, где , а

Находим так называемое операторное решение уравнения

Найдя оригинал x(t) по его изображению X(p) , мы получим тем самым решение задачи Коши для исходного дифференциального уравнения.

29. Применение операционного исчисления к решению систем дифференциальных уравнений.

30. Разложение функции в ряд Фурье.

Ряд Фурье функции x(t) представляется в виде :

где коэффициенты Фурье a₀, a_n и b_n определяются формулами

При расчете коэффициентов ряда Фурье необходимо выбрать начальный момент времени t₀ периода интегрирования. Как правило, значение t₀ выбирают так, чтобы упростить вычисления. Обычно, исходя из этого условия, принимают

t₀=-Т/2 . Формулы приобретают следующий вид:

31. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье.

Если функция x(t), описывающая сигнал, является четной, то есть

x(t)=x(-t), то коэффициенты a_n=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются только постоянная и косинусоидальные составляющие:

Если функция x(t), описывающая сигнал, является нечетной, то есть

x(t)=-x(t), то коэффициенты a_n=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются только синусоидальные составляющие:

Получила распространение и другая форма записи тригонометрического ряда Фурье:

где амплитуда A_n и фаза n-ой гармонической составляющей связаны с коэффициентами a_n и b_n соотношениям:

или

32. Разложение в ряд Фурье на произвольном интервале.

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

33. Уравнение теплопроводности.

Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции:

Составим дифференциальное уравнение:

Выражение  называется оператором Лапласа.

Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид:

и называется уравнением теплопроводности в пространстве.

  В качестве частных случаев рассматривают:

   - уравнение теплопроводности в стержне,

   - уравнение теплопроводности на плоскости.

В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению, начальному условию  и граничным условиям

34. Метод Фурье решения уравнения теплопроводности.

  В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим:

35. Уравнение колебаний струны.

     Решение:

где

36. Метод Фурье решения волнового уравнения.

 Метод Фурье для уравнения колебаний ограниченной струны

     Начальные условия: .

     Граничные условия: .

     Решение:

где

37. Колебания бесконечной струны. Метод Даламбера.