Универсальный алгоритм приведения уравнения к виду,

удобному для итерации.

на отрезке локализации должна быть знакопостоянна.

Знак должен совпадать со знаком производной на .

Оптимальное значение параметра.

–минимальное значение функции .

Метод простой итерации с оптимальным выбором параметра.

Критерий окончания

Пример.

метод сходится.

Метод Ньютона (метод касательных).

Расчётная формула метода Ньютона:

Лекция № 4.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Метод секущих.

Основывается также на замене произведения разностью отношений, z является точкой итерационной последовательности.

Точки и называются стартовыми точками и выбираются любыми из области локализации.

Пусть – простой корень уравнения, функция дважды непрерывно дифференцируема и вторая производная в точке корня равна 0, тогда при произвольном выборе начальных приближений и из окрестности корня метод секущих с порядком .

Трудоёмкость метода секущих меньше трудоёмкости метода Ньютона.

Метод Стеффенсона.

является методом второго порядка точности p = 2.

Обусловленность задачи вычисления корня уравнения.

–коэффициенты возрастания начальной погрешности.

Точность достигнута, если .

Определение 1.

Из-за вычислительной погрешности существует такой интервал, называемый интервалом неопределённости корня, внутри которого невозможно определить, какое число является корнем. Длина интервала называется радиусом неопределённости корня.

–радиус неопределённости корня.

Вывод:

1. Если – простой корень, т. е. , то задача хорошо обусловлена.

2. Если корень кратный, т. е. , то задача становится плохо обусловленной.

–корень кратности m

Задача. Найти радиус неопределённости для кратного корня.

Алгоритм для нахождения кратного корня:

Лекция № 5.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ).

Вспомогательные сведения.

Основные задачи вычислительной математики:

1. Решение СЛАУ.

2. Нахождение собственных чисел и собственных векторов.

3. Обратная матрица.

4. Вычисление определителя.

Постановка задачи о приближенном решении уравнения.

–точное решение (неизвестно).

Требуется найти вектор – приближенное решение с точностью .

Определение 1.

Будем говорить, что в введена норма вектора, если сопоставляется число , удовлетворяющее аксиомам:

1. 

2. 

3. 

Наиболее употребительные нормы:

Пример.

Определение 2.

Под погрешностями вектора будем понимать:

Справедливо следующее соотношение для норм векторов:

–размерность пространства.

Пусть рассматривается последовательность приближений .

Будем говорить, что эта последовательность сходится к по норме, если .

Всюду далее конкретизация нормы не существенна, т. к. сходимость одной влечёт сходимость по остальным.

Определение 3.

Подчинённой нормой матрицы А называется число, определяемое .

Пример.

Введённая таким образом норма удовлетворяет следующим аксиомам нормы матрицы:

1. 

2. 

3. 

4. 

Имеем систему Найти не сможем, т. к. искажена и A и b. Будем решать .

Рассмотрим задачу о нахождении приближенного решения, выбрав евклидову норму вектора .