МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Лекции

Численные методы

4 семестр

Лектор Амосова Ольга Алексеевна

Москва, 2009/2010

Лекция № 1.

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

Классификация погрешностей.

Целые ответы ­– огромная редкость.

Основные типы погрешностей:

1. Неустранимые погрешности (погрешность модели, входных данных).

2. Погрешность метода (использование алгоритмов для решения задачи).

3. Вычислительная погрешность (при вычислениях на компьютерах).

Пример.

1. Неточности: не учитывается сопротивление воздуха и т. п.

2. Метод (извлечение корня) – алгоритм Ньютона.

Определение 1.

Пусть а – точное значение, – приближенное значение той же величины, тогда:

Абсолютной погрешностью называется величина (1)

Относительной погрешностью называется величина (2)

Пример.

Определение 2.

Значащей цифрой числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Определение 3.

Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример.

Правила округления.

Правила округления:

1. Округление усечением.

Округлим до k-ого разряда вне зависимости от .

2. Округление по дополнению.

Договоримся, что, если число задано без погрешности, то абсолютная погрешность числа равна половине оставленного разряда.

Определение 4.

Нормальная форма записи числа

.

–мантисса числа, p – порядок числа.

Пример.

Оценка погрешностей арифметических операций и функций.

Утверждение 1.

Абсолютная погрешность не превышает абсолютных погрешностей аргументов.



Утверждение 2.

Относительная погрешность произведения и частного не превышает суммы относительных погрешностей аргументов.



Оценка погрешности функции одной переменной.

Дана функция .

на отрезке, содержащем и .

Пример.

Основная задача теории погрешностей:

Дана функция m переменных

Требуется найти .

Теорема 1.

Если функция непрерывно дифференцируема по любому аргументу, то верна общая формула погрешностей:

(3)

Запишем следующую формулу (2 члена приближения формулы Тейлора):



Пример.

Определение 5.

Будем называть абсолютным числом обусловленности число , удовлетворяющее и относительным числом обусловленности число , удовлетворяющее , где

–абсолютная и относительная погрешности входного данного;

–абсолютная и относительная погрешности результата.

Определение 6.

Будем называть задачу хорошо обусловленной, если относительное число обусловленности и плохо обусловленной – в противном случае.

Лекция № 2. Особенности машинной арифметики. Корректность вычислительной задачи.

Определение 1.

Будем называть вычислительную задачу корректной по Адамару, если:

1. Решение существует для всех допустимых входных данных.

2. Решение задачи устойчиво, т. е. непрерывным образом зависит от входных данных (малой погрешности входных данных соответствует малая погрешность результата).

3. Решение задачи единственно.

Пример.

По правилу Крамера решение существует и единственно.

1. 

2. неопределенность задача некорректна.

Задача не является корректной.

Задача вычисления интеграла непрерывной функции .

–погрешность входных данных.

Пусть – множество входных данных, – множество решений.

–числа обусловленности задачи.

В задаче вычисления интеграла получили .

Найдём относительное число обусловленности задачи

Если , то задача хорошо обусловлена.

Если – осциллирующая (например,sin с малым периодом), то .

Найдём оценку числа обусловленности вычисления функции одной переменной.

–абсолютное число обусловленности.

Пример.

При каких значениях x задача вычисления функции является хорошо обусловленной задачей?