Задачник

Iаа, Ibb, Iсс – узловые токи, равные алгебраическим суммам ЭДС ветвей, подходящих к соответствующему узлу, деленному на сопротивление этих ветвей. В эту сумму со знаком «плюс» входят ЭДС, направленные к узлу, и со знаком «минус» ЭДС, направленные от узла:

Решение системы уравнений методом Крамера дает следующие значения потенциалов узлов схемы:

φа = а ; φb = в ; φс = с .

Здесь = 0,107·0,166·0,263 + (-0,05)·(-0,036)·(-0,027) +

+(-0,027)·(-0,05)·(-0,036) – (-0,027)·0,166·(-0,027) –

–(-0,036)·(-0,036)·0,107 – 0,263·(-0,05)·(-0,05) = 3,66·10 3 ;

4. Заключительным этапом является расчет токов ветвей по обобщенному закону Ома, где ЭДС и напряжение на зажимах каждой ветви берутся со знаком «плюс», если они совпадают по направлению с током ветви, и со знаком «минус», если не совпадают:

Определим ток I3 в исходной схеме рис.1.1. Для узла n составим уравнение по первому закону Кирхгофа: I3 + Iкз + I 3' = 0, из него следует,

что I3 = - I '3 - Iкз = 1,13 – 0,4 = 0,73 А.

1.2.4. Сравнение результатов расчетов методами МКТ и МУП

Таблица 1.2

Сравнение результатов расчетов МКТ и МУП

Относительная погрешность расчета тока δ:

где I – абсолютная погрешность расчета соответствующего тока; Imin – наименьшее из двух значений сравниваемых токов. Например, для тока Ii:

δ ≤ 2 %. При расчете на микрокалькуляторе следует учитывать не менее трех или четырех значащих цифр. В этом случае легко обеспечивается погрешность менее 1%.

1.2.5. Баланс мощностей

Проверим выполнение баланса мощностей в цепи. Он устанавливает равенство (баланс) алгебраической суммы мощностей, развиваемых источниками энергии, сумме мощностей, расходуемых приемниками энергии.

источников тока Iк. Мощность положительна, если ток источника тока подтекает к точке с большим потенциалом, и отрицательна, если это усло-

m 2

вие не выполняется; I R − сумма мощностей, потребляемых всеми со-

1

противлениями, где все слагаемые положительны.

Баланс мощностей по условиям задания следует проверить в исходной схеме рис.1.1, без преобразования источников тока. Поэтому найдем напряжение на зажимах источника тока, воспользовавшись данными предыдущих расчетов:

Und = - I3 R3 = - 0,73 ∙ 5 = - 3,65 В.

Рассчитаем суммарную мощность источников:

Рист Е2 I2 E3 I3' Und Iкз 25 ∙ (-0,4) – 50 ∙ (-1,13) + 0,4 (-3,65) =

=45,04 Вт.

Мощность, потребляемая сопротивлениями цепи

Рпр I12 R1 I22 R2 I32 R3 I42 R4 I52 R5 I62 R6 =

0,79 2 32,5 0,42 12,5 0,732 5 0,232 20 0,572 27,5 0,552 37,5 =

= 46,27 Вт.

Относительная погрешность баланса мощностей

3. Определим входное сопротивление всей схемы относительно

разомкнутых зажимов mm ' .

Для этого преобразуем один из треугольников сопротивлений,

В результате этого преобразования схема оказалась приведенной к после- довательно-параллельной (рис. 1.5), в которой

1.2.7. Потенциальная диаграмма

Так называется график изменения потенциала вдоль замкнутого контура.

Отложим по оси абсцисс (рис. 1.7) все сопротивления контура dкbacnd (рис.1.1), двигаясь от точки d, потенциал которой принят равным нулю. Перемещаясь вдоль этого контура, подсчитаем потенциалы всех точек. Пройдя сопротивление R2 и двигаясь по току I2 (от большего потенциала к меньшему), попадаем в точку к, потенциал которой равен:

φк = φd - I2 R2 = = - I2 R2 = - (- 0,4) ∙ 12,5 = 5 В.

Потенциал следующей точки в будет больше φк на величину ЭДС

Е2:

φb = φк + Е2 = 5 + 25 = 30 В.

Так как между точками к и в нет сопротивления, то их абсциссы будут одинаковы.

Потенциалы остальных точек определяются аналогично:

φа = φb – I4 R4 = 30 – 0,23 ∙ 20 = 30 – 4,6 = 25,4 В;

φс = φа – I6 R6 = 25,4 – (-0,55) ∙ 37,5 = 25,4 + 20,625 = 46,025 В;

φn = φс – Е3 = 46,025 – 50 = - 3,975 В;

φd = φn + I3 R3 = - 3,975 + 0,75 ∙ 5 ≈ 0 В.

Рис.1.7. Потенциальная диаграмма

Значения потенциалов узлов с достаточной точностью совпадают со значениями, найденными методом узловых потенциалов (МУП).

Контрольное задание выполнено.

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

2.1. Контрольное задание

Задача. Для заданной электрической схемы и значений параметров ее элементов выполнить следующее:

1.На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах: а) дифференциальной; б) символической.

2.Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных электрических цепей.

3.По результатам, полученным в п. 2, определить показания ваттметра двумя

способами: а) с помощью выражения для комплексов тока и напряжения на ваттметре; б) по формуле UIcos . С помощью векторной диаграммы тока и напряжения, на которые реагирует ваттметр, пояснить определение угла = u - i.

4.Составить баланс активных и реактивных мощностей.

5.Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов. При этом потенциал точки a, указанной на схеме, принять равным нулю.

6.Используя данные расчетов, полученных в п. 2, записать выражение для мгно-

венного значения тока i1.

Указание: Правила действий над комплексными числами пояснены примерами, помещенными в конце раздела.

2.2.Методические указания к выполнению задания

Выполнение контрольного задания рассмотрим применительно к схеме рис. 2.1, где f = 55 Гц, R1 = 17 Ом, L2 = 20 мГн, С2 = ∞, С3 = 100

мкФ, e1 = 113,1 sin ωt B, е3 = 56,6 sin (ωt – 350) В.

2.2.1. Метод уравнений Кирхгофа

На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах: а) дифференциальной; б) символической.

При выполнении этого пункта задания используется конкретная схема, включающая только те элементы, которые указаны в задании. В эту схему не следует включать ваттметр, показание которого определяется в п. 3 контрольной работы.

Если ветвь схемы содержит две ЭДС (рис. 2.2), есть смысл заменить их одной эквивалентной ЭДС. Если заменяемые ЭДС совпадают по направлению, эквивалентная ЭДС будет равна их сумме; если ЭДС в ветви направлены встречно друг другу – эквивалентная ЭДС

равна их разности.

Рис. 2.1. Электрическая схема

Далее в схеме (рис. 2.1) произвольно задаются положительными направлениями токов в ветвях и направлениями обхода контуров.

В схеме 2 узла. По первому закону Кирхгофа составляется одно уравнение. Положительными считаются токи, направленные к узлу.

Так как схема содержит два независимых контура, по второму закону Кирхгофа составляется два уравнения. В них знаки «плюс» принимаются для ЭДС и токов, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо помнить, что мгновенные значения напряжения и тока в резисторе связаны между собой законом Ома:

uR = R ∙ i;

в катушке индуктивности:

uL = L dtdi ;

в конденсаторе: