2.2 Особенности использования метода Ляпунова при исследовании устойчивости нелинейных систем, представленных линеаризованными уравнениями.

При разложении нелинейных функций, описывающих поведение нелинейной системы, в степенные ряды, сходящиеся в некоторой окрестности начала координат, можно сделать заключение об устойчивости нелинейной системы по ее линеаризованному представлению.

Записывается уравнение

,

где -матрица коэффициентов первого приближения;-мерный вектор остаточных членов.

Тогда для линеаризованной системы

можно записать условия устойчивости, которые распространяются на исходную нелинейную систему:

1) если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны для системы первого приближения, то исходная нелинейная система асимптотически устойчива независимо от членов разложения выше первого порядка.

2) если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то исходная нелинейная система неустойчива независимо от членов разложения выше первого порядка.

3) если среди корней характеристического уравнения первого приближения есть нулевые, то для анализа устойчивости исходной нелинейной системы необходимо учитывать члены выше первого порядка.

2.3 Переходные процессы в сар

В результате воздействия внешних сил с одной стороны, и восстанавливающего действия управляющего устройства с другой стороны, в САР возникает переходный процесс.

Рассмотрим различные виды переходных процессов.

Пусть САР описывается дифференциальным уравнением (ДУ) вида

(1)

характеристическое уравнение, которого

имеет корни

Решение ДУ описывает переходный процесс y(t), при этом характер переходного процесса определяется коэффициентом x. Варианты расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости р при различных значениях x показано на рисунке 8. Далее будут рассмотрены переходные процессы, которые соответствуют различным значениям x.

Рисунок 8 – Расположение корней характеристического уравнения

1) x<-1.

Переходная функция h(t) при подаче на вход единичного ступенчатого сигнала имеет вид: , при этом корни характеристического уравнения вещественные положительные (p_1,2>0) и, следовательно,.

В данном случае система не может восстановить равновесное состояние, значение управляемой координаты все больше отклоняется от заданного. Такой переходный процесс является расходящимся монотонным (апериодическим) (рисунок 9, а), а система будет неустойчивой.

Рисунок 9 – Виды переходного процесса

2) -1<x

,а переходная функция имеет вид:

где ,.

Характеристики системы те же, что и в предыдущем случае, только переходный процесс колебательный (рисунок 9, б).

3) 0<x

При этом система возвращается в равновесное состояние, а значение управляемой координаты приближается к заданному. Такой переходный процесс является сходящимся колебательным, а система – устойчивой. (рисунок 9,в).

4) x>1

Переходная функция h(t) имеет тот же вид, что и в случае I, но . Характеристика системы та же, что и в III случае, но переходный процесс монотонный (апериодический) (рисунок 9, в). На этом же рисунке показана переходная функция при x=1,.

x=0. ,,.

В системе устанавливается периодическое движение, процесс называется колебательным незатухающим, система находится на границе устойчивости (рисунок 9, д). Она является замкнутой (консервативной), автономной от внешней среды.

Все рассмотренные колебания (И, III и V случаи) относятся к классу свободных, их параметры A и j зависят от начальных условий, т. е. от привнесенной энергии. Для случаев II и III функция , где Т- период колебаний, и, следовательно, эти колебания непериодические. Периодические колебания наблюдаются только в случае V.

Сопоставление корней характеристического уравнения на комплексной плоскости р с соответствующими переходными процессами (рисунок 9) показывает, что линейная система может восстановить свое равновесное состояние только в том случае, когда корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси.