ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА III ЭТАП 2006-07

Материалы третьего этапа

1. Производная функции

1. Найдите производную от функции:

2. Найдите производную от функции:

3. Найдите производную от функции:

4. Найдите производную от функции:

5. Найдите производную от функции:

6. Найдите производную от функции:

7. Найдите производную от функции:

8. Найдите производную от функции:

9. Найдите производную от функции:

10. Найдите производную от функции:

11. Найдите производную от функции:

12. Найдите производную от функции:

13. Найдите производную от функции:

14. Найдите производную от функции:

15. Найдите производную от функции:

16. Найдите производную от функции:

17. Найдите производную от функции:

18. Найдите производную от функции:

19. Найдите производную от функции:

20. Найдите производную от функции:

21. Найдите производную от функции:

22. Найдите производную от функции:

23. Найдите производную от функции:

24. Найдите производную от функции:

25. Найдите производную от функции:

2. Производная сложной функции.

1. Найдите производную от сложной функции: .

2. Найдите производную от сложной функции: .

3. Найдите производную от сложной функции: .

4. Найдите производную от сложной функции: .

5. Найдите производную от сложной функции: .

6. Найдите производную от сложной функции: .

7. Найдите производную от сложной функции: .

8. Найдите производную от сложной функции: .

9. Найдите производную от сложной функции: .

10. Найдите производную от сложной функции: .

11. Найдите производную от сложной функции: .

12. Найдите производную от сложной функции: .

13. Найдите производную от сложной функции: .

14. Найдите производную от сложной функции: .

15. Найдите производную от сложной функции: .

16. Найдите производную от сложной функции: .

17. Найдите производную от сложной функции: .

18. Найдите производную от сложной функции: .

19. Найдите производную от сложной функции: .

20. Найдите производную от сложной функции: .

21. Найдите производную от сложной функции: .

22. Найдите производную от сложной функции: .

23. Найдите производную от сложной функции: .

24. Найдите производную от сложной функции: .

25. Найдите производную от сложной функции: .

3. Дифференциал функции.

1.Найти дифференциал функции: .

2. Найти дифференциал функции: .

3. Найти дифференциал функции: .

4. Найти дифференциал функции: .

5. Найти дифференциал функции: .

6. Найти дифференциал функции: .

7. Найти дифференциал функции: .

8. Найти дифференциал функции: .

9. Найти дифференциал функции: .

10. Найти дифференциал функции: .

11. Найти дифференциал функции: .

12. Найти дифференциал функции: .

13. Найти дифференциал функции: .

14. Найти дифференциал функции: .

15. Найти дифференциал функции: .

4. Применение дифференциала к вычислению погрешностей при измерении физических величин.

1. При прямых измерениях найдено, что диаметр круга равен 6,67см, причём максимальная погрешность измерения составляет 0,03см. Найдите приближённую относительную погрешность диаметра в процентах.

2. Докажите, что относительная погрешность вычисленного объёма шара приблизительно равна утроенной относительной погрешности в измерении его диаметра.

3. Определите относительную погрешность, с которой допустимо измерить радиус шара, чтобы объём его можно было определить с точностью до 2%.

4. Период малых колебаний «нитяного» маятника (в секундах) определяется по формуле ,гдеl -длина маятника в сантиметрах, а g = 981 см/с² - ускорение силы тяжести. Докажите, что приближённая относительная погрешность периода колебаний маятника равна половине относительной погрешности его измеренной длины.

5. Пользуясь формулой , установите, насколько следует изменить длину маятникаl = 25 см, чтобы его период увеличился на 0,05 секунд.

6. Из формулы следует, что определение ускорения силы тяжести с помощью маятника может быть вычислено по формулеОпределите относительную погрешность в определенииg, если известна относительная погрешность в измерении l, а погрешностью в измерении T можно пренебречь.

7.Из формулы следует, что определение ускорения силы тяжести с помощью маятника может быть сделано по формулеОпределите относительную погрешность в определенииg, если известна относительная погрешность в измерении T, а относительной погрешностью в l можно пренебречь.

8. Найдите абсолютную и относительную погрешности в определении объема шара, если при измерении его радиуса были получены значения R=(6,00,1)см.

9. Выведите формулу для вычисления относительной погрешности в измерении модуля упругости кости , гдеL, a,b,- измеряемые величины.

10. Выведите формулу для вычисления относительной ошибки в измерении коэффициента вязкости по методу Стокса , где,R – измеряемые величины.